[논문 리뷰] Quantum Circuits: Fanout, Parity, and Counting

Cristopher Moore|ArXiv.org|1999. 03. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 고정 깊이의 패러티 및 패러티 연산을 허용하는 고전적 AC₀ 및 ACC₀를 확장한 양자 회로 클래스 QAC₀_wf와 QACC₀[2]를 제안한다. 패러티 또는 패러티 연산이 고정 깊이에서 가능하면 임의의 q에 대해 MODq 게이트를 구성할 수 있음을 증명하여 QACC₀[2] = QACC₀임을 보이고, 이는 이 설정에서 양자 회로가 고전적 대응체보다 엄격히 더 강력하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We propose definitions of QAC^0, the quantum analog of the classical class AC^0 of constant-depth circuits with AND and OR gates of arbitrary fan-in, and QACC^0[q], where n-ary Mod-q gates are also allowed. We show that it is possible to make a `cat' state on n qubits in constant depth if and only if we can construct a parity or Mod-2 gate in constant depth; therefore, any circuit class that can fan out a qubit to n copies in constant depth also includes QACC^0[2]. In addition, we prove the somewhat surprising result that parity or fanout allows us to construct Mod-q gates in constant depth for any q, so QACC^0[2] = QACC^0. Since ACC^0[p] != ACC^0[q] whenever p and q are mutually prime, QACC^0[2] is strictly more powerful than its classical counterpart, as is QAC^0 when fanout is allowed.

연구 동기 및 목표

• 고전적 회로 클래스인 AC₀ 및 ACC₀의 양자 버전인 QAC₀_wf 및 QACC₀[q]를 정의하여 얕은 회로에서의 양자 계산 능력을 연구한다.
• 고정 깊이 제약 하에서 양자 회로에서 패러티, 패러티 및 MODq 게이트 간의 관계를 조사한다.
• 특히 고정 깊이 계산의 맥락에서 양자 회로 클래스가 고전적 대응체보다 엄격히 더 강력한지 여부를 규명한다.
• 패러티 및 앤시리아 관리의 역할을 명확히 하여 양자 회로 클래스의 정의적 모호함을 해결한다.

제안 방법

• QAC₀_wf를 고정 깊이의 큐비트 패러티를 허용하는 양자 회로 클래스로 제안하며, 일보 및 Toffoli 게이트로 구성된 레이어로 이루어진 유니터리 회로로 정의한다.
• QAC₀_wf를 확장하여 무제한 패러티 입력 MODq 게이트를 포함하는 QACC₀[q]를 도입하며, MODq는 입력 합이 q로 나누어떨어지지 않을 경우 1을 출력한다.
• 비대칭 게이트를 대칭 형태로 전환하기 위해 유니터리 T를 이용한 대각화를 통해 제어된-M 게이트 구조를 구성하고, 이를 통해 병렬 처리를 가능하게 한다.
• 고정 깊이의 패러티를 양자 중첩과 얽힘을 활용한 고양이 상태 준비를 통해 해머드 게이트 및 제어된 위상 연산을 통해 실현한다.
• 역제어된-M 연산을 통해 초기화 및 재사용이 가능한 앤시리아 큐비트를 활용하여 정확성 유지 및 재사용 가능성을 확보한다.
• 만약 패러티 또는 패러티가 고정 깊이에서 실현 가능하면, 대각화 및 병렬 제어 연산을 통해 임의의 q에 대해 MODq 게이트를 고정 깊이에서 구성할 수 있다는 식의 항등식을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 회로에서 패러티를 고정 깊이로 구현할 수 있으며, 이는 패러티 계산 능력과 관련이 있는가?
• RQ2 고정 깊이에서 패러티 또는 패러티 계산 능력이 임의의 q에 대해 MODq 게이트를 고정 깊이에서 구성할 수 있게 하는가?
• RQ3 QACC₀[q]는 모든 q에 대해 QACC₀와 동일한가, 특히 홀수 q에 대해서도 그렇고, 이는 고전적 ACC₀에 비해 양자적 우월성을 의미하는가?
• RQ4 QAC₀는 QAC₀_wf와 동일한가, 아니면 고정 깊이에서 패러티가 기본 Toffoli 및 일보 게이트보다 엄격히 더 강력한가?
• RQ5 MODq 게이트를 구성하는 데 사용된 기법을 고정 깊이에서 임계값 게이트를 구성하는 데로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 큐비트를 n개의 복제로 고정 깊이에서 패러티하는 것은 고정 깊이에서 패러티(MOD2) 게이트를 구성하는 것과 동치이다.
• 고정 깊이에서 패러티 또는 패러티 게이트가 존재하면, 임의의 q에 대해 MODq 게이트를 고정 깊이에서 구성할 수 있다.
• QACC₀[2] = QACC₀이며, 이는 MOD2 게이트를 추가함으로써 모든 MODq 게이트를 고정 깊이에서 구성할 수 있음을 의미하며, 이는 고전적으로 성립하지 않는다.
• QAC₀_wf = QACC₀[2] = QACC₀로서, 고정 깊이 패러티 또는 패러티가 양자 MODq 계층의 붕괴를 이끌어낸다.
• QAC₀_wf 및 QACC₀[2]는 각각 고전적 대응체인 AC₀ 및 ACC₀[2]보다 엄격히 더 강력하며, 이는 고정 깊이 계산에서의 양자적 우월성 때문이다.
• 구성된 MODq 게이트의 깊이는 n에 따라 달라지지 않고 q에 따라 달라지며, 고정된 q에 대해 고정 깊이임을 확인하였고, 깊이는 O(q² log³ q)로 유계되어 있다.