[논문 리뷰] Quantum Circuits with Mixed States

Dorit Aharonov, Alexei Kitaev외 1명|ArXiv.org|1998. 06. 08.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 68

한 줄 요약

이 논문은 순수 상태뿐만 아니라 혼합 상태(밀도 행렬)와 일반적인 양자 연산(항상 유니터리일 必須는 아님)을 허용하는 일반화된 양자 회로 모델을 제안하여 기존의 유니터리 모델의 핵심 한계를 극복한다. 주요 기여는 확률적 서브루틴이 이 모델에서 계산 능력을 증가시키지 않고도 공식적으로 사용될 수 있음을 증명하고, 다이아몬드 노름을 사용하여 회로 수준의 노이즈에 대해 선형 오차 한계를 설정한 것이다.

ABSTRACT

We define the model of quantum circuits with density matrices, where non-unitary gates are allowed. Measurements in the middle of the computation, noise and decoherence are implemented in a natural way in this model, which is shown to be equivalent in computational power to standard quantum circuits. The main result in this paper is a solution for the subroutine problem: The general function that a quantum circuit outputs is a probabilistic function, but using pure state language, such a function can not be used as a black box in other computations. We give a natural definition of using general subroutines, and analyze their computational power. We suggest convenient metrics for quantum computing with mixed states. For density matrices we analyze the so called ``trace metric'', and using this metric, we define and discuss the ``diamond metric'' on superoperators. These metrics enable a formal discussion of errors in the computation. Using a ``causality'' lemma for density matrices, we also prove a simple lower bound for probabilistic functions.

연구 동기 및 목표

• 측정, 노이즈, 디코herence 동안의 계산에서 표준 유니터리 양자 회로 모델의 공식적 부족함을 해결한다.
• 오랫동안 지속된 '서브루틴 문제'를 해결하기 위해 확률적 함수를 블랙박스 서브루틴으로 공식적으로 양자 회로에 통합할 수 있도록 한다.
• 밀도 행렬과 완전히 양성 맵을 사용하여 일반 양자 연산(비유니터리 과정 포함)을 모델링하는 통합 프레임워크를 제공한다.
• 트레이스 거리와 다이아몬드 노름을 사용하여 노이즈 있는 양자 계산의 엄밀한 오차 추적을 수립한다.
• 확장된 모델이 표준 유니터리 모델과 계산적으로 동일한 능력을 지닌다는 것을 입증하여 복잡도론적 결과를 유지한다.

제안 방법

• 양자 회로를 일반 혼합 상태(밀도 행렬)와 일반 양자 연산(완전히 양성이고 트레이스가 비증가하는 사상)을 허용하도록 일반화한다.
• 다이아몬드 노름을 양자 연산 간의 거리 측정 도구로 사용하여 노이즈 있는 회로에서의 오차 분석을 가능하게 한다.
• 트레이스 노름과의 관계를 정의하기 위해 쌍대 슈퍼연산자를 도입하고 오차 전파를 위한 핵심 부등식을 증명한다.
• 이deal한 버전으로부터의 트레이스 거리가 유한한 양자 연산으로서 확률적 서브루틴을 공식적으로 정의한다.
• 트레이스 거리 ≤ε인 서브루틴이 유도하는 오차가 슈퍼연산자 노름의 경계를 통해 총 회로 오차에 최대 5ε를 기여함을 증명한다.
• 다이아몬드 노름의 삼각부등식과 하향성의 성질을 사용하여, 각 구성 요소의 오차가 ≤ε인 L개의 게이트/서브루틴을 포함한 회로에서 총 오차가 O(Lε) 이하로 제한됨을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 회로를 순수 상태와 유니터리 연산 외에도 혼합 상태와 비유니터리 연산을 포함하도록 공식적으로 확장할 수 있는가? 이 경우 계산 능력은 변화하지 않는가?
• RQ2 확률적 서브루틴—결과가 확률적으로 나오는 함수—는 어떻게 양자 회로 모델에 공식적으로 통합될 수 있는가?
• RQ3 양자 회로에서 노이즈와 디코herence를 추적하기 위한 적절한 오차 측정법은 무엇이며, 오차는 연산 간에 어떻게 누적되는가?
• RQ4 양자 회로에서 확률적 서브루틴을 사용하는 것이 이상적인 유니터리 연산을 사용하는 것과 동일한 계산 능력을 가지는가, 아니면 계산 능력을 증가시키는가?
• RQ5 다이아몬드 노름을 사용하여 노이즈 조건 하에서 양자 회로에 대해 날카롭고 선형적인 오차 한계를 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 혼합 상태를 포함한 양자 회로 모델은 표준 유니터리 모델과 다항식 수준에서 동일한 계산 능력을 지닌다.
• 서브루틴 문제 해결: 확률적 서브루틴은 블랙박스로 공식적으로 사용 가능하며, 이 모델의 계산 능력을 증가시키지 않는다.
• 다이아몬드 노름 오차 ≤ε인 단일 게이트 또는 서브루틴이 유도하는 오차는 총 회로 오차에 최대 O(ε)를 기여하며, 각 서브루틴당 선형 상한 5ε가 존재한다.
• 각 구성 요소의 오차가 ≤ε인 L개의 구성 요소를 포함한 회로에서의 총 오차는 O(Lε) 이하로 제한되며, 이는 오차가 선형적으로 누적됨을 보여준다.
• 다이아몬드 노름은 양자 연산 간의 거리를 측정하는 데 있어 강력하고 물리적으로 의미 있는 척도를 제공하며, 엄밀한 오차 추적을 가능하게 한다.
• 노이즈와 디코herence—순수 상태를 혼합 상태로 변환하는 비유니터리 과정—는 새로운 프레임워크에서 자연스럽게 모델링되고 분석될 수 있다.