[논문 리뷰] Quantum Codes from Generalized Reed-Solomon Codes and Matrix-Product Codes

Tao Zhang, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 허미트 자기수직 일반화된 리드-솔로몬 코드를 사용하여 세 가지 새로운 양자 MDS 코드 클래스를 제안하며, 행렬 곱 코드와 허미트 구성 방식을 융합한 새로운 양자 코드 구축 방법을 도입한다. 주요 기여는 기존에 알려지지 않았던 파라미터를 가진 양자 MDS 코드의 발견으로, 길이 $ q^2 - 1 $ 이며 최소 거리가 $ q $에 이르는 코드와 기존 문헌의 코드들보다 향상된 파라미터를 가진 코드를 포함한다.

ABSTRACT

One of the central tasks in quantum error-correction is to construct quantum codes that have good parameters. In this paper, we construct three new classes of quantum MDS codes from classical Hermitian self-orthogonal generalized Reed-Solomon codes. We also present some classes of quantum codes from matrix-product codes. It turns out that many of our quantum codes are new in the sense that the parameters of quantum codes cannot be obtained from all previous constructions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 구성 방식보다 더 나은 파라미터를 가진 새로운 양자 MDS 코드를 구축하는 것.
• 기존의 $ q/2 + 1 $ 최소 거리 기준을 초월하여 알려진 양자 MDS 코드의 범위를 확장하는 것.
• 행렬 곱 코드와 허미트 구성 방식을 융합하여 새로운 양자 코드 구축 방법을 개발하는 것.
• 모든 $ 2 \leq d \leq q $ 에 대해 길이 $ q^2 - 1 $ 이고 최소 거리 $ d $ 인 $ q $-진 양자 MDS 코드의 존재를 보여주는 것.

제안 방법

• 체 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 위에서 허미트 자기수직 일반화된 리드-솔로몬 코드를 활용하여 허미트 구성 방식을 통해 양자 MDS 코드를 구축한다.
• 특정한 $ q $ 의 대수적 형태, 즉 $ q = 2am+1 $, $ q = 2am-1 $, $ q = (2a+1)m-1 $ 에 대한 구조적 조건에 기반해 세 가지 새로운 양자 MDS 코드 가족을 유도하고, 명시적인 파라미터를 제공한다.
• 체 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 위에서 $ s \times s $ 비특이 행렬 $ A $ 를 사용하여 행렬 곱 코드 구성 방식을 적용하며, $ A^{(q)} $ 도 비특이임을 보장한다.
• 구성 요소 코드 $ C_i $ 에 대해 허미트 쌍대 포함 조건 $ C_i^\perp^H \subseteq C_i $ 를 이용하여 결과 행렬 곱 코드가 허미트 쌍대 포함임을 보장한다.
• 행렬 곱 코드 구성 방식을 허미트 구성과 융합하여 향상된 파라미터를 가진 새로운 양자 코드를 생성한다.
• 길이 $ q^2+1 $ 과 $ q^2 $ 인 기존의 허미트 쌍대 포함 코드를 활용하여 길이 $ 2q^2+2 $, $ 2q^2 $, $ 2q^2-2 $ 인 새로운 양자 코드를 각각 $ [[2q^2+2, 2q^2+6-3d, \geq d]]_q $, $ [[2q^2, 2q^2+4-3d, \geq d]]_q $, $ [[2q^2-2, 2q^2+2-3d, \geq d]]_q $ 의 파라미터로 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정한 대수적 형태의 $ q $ 를 가진 일반화된 리드-솔로몬 코드로부터 새로운 양자 MDS 코드 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 길이 $ q^2 - 1 $ 인 양자 MDS 코드의 도달 가능한 파라미터는 무엇이며, 최소 거리 $ d \leq q $ 를 달성할 수 있는가?
• RQ3 체 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 위에서의 행렬 곱 코드와 허미트 구성 방식을 융합하면, 기존의 것보다 더 나은 파라미터를 가진 양자 코드를 도출할 수 있는가?
• RQ4 결과로 도출된 양자 코드의 파라미터는 알려진 양자 코드 온라인 표와 비교하여 어떻게 다른가?

주요 결과

• 세 가지 새로운 $ q $-진 양자 MDS 코드 클래스가 구축되었다: $ q = 2am+1 $, $ q = 2am-1 $, $ q = (2a+1)m-1 에 해당하는 각각의 경우로, 각각의 경우에 대해 $ a $, $ m $, $ d $ 에 따라 명시적인 파라미터를 가진다.
• 모든 $ 2 \leq d \leq q $ 에 대해 길이 $ q^2 - 1 $ 이고 최소 거리 $ d $ 인 $ q $-진 양자 MDS 코드가 존재함을 보여주었으며, 이는 이전 결과를 확장한 것이다.
• 만일 $ q $ 가 홀수 소수 거듭제곱이라면, 길이 $ 2q^2+2 $, $ 2q^2 $, $ 2q^2-2 $ 인 새로운 양자 코드를 각각 $ [[2q^2+2, 2q^2+6-3d, \geq d]]_q $, $ [[2q^2, 2q^2+4-3d, \geq d]]_q $, $ [[2q^2-2, 2q^2+2-3d, \geq d]]_q $ 의 파라미터로 구성하였다.
• 유도된 양자 코드는 표 [9]에 나열된 것들보다 더 나은 파라미터를 가지며, 표 I에 의해 확인되었으며, 동일한 길이와 최소 거리에서 더 높은 차원을 가진다.
• 구체적인 예로는 $ [[20,14,\geq3]]_3 $, $ [[48,28,\geq8]]_5 $, $ [[164,152,\geq5]]_9 $ 가 있으며, 이는 이전에 알려진 코드들을 모두 능가한다.
• 행렬 곱 코드와 허미트 쌍대성의 조합을 통한 구축 방법은 이전의 방법으로는 도달할 수 없는 양자 코드를 생성하며, 이는 파rameter 공간에서의 새로운 기여를 보여준다.