[논문 리뷰] Quantum Coin Flipping, Qubit Measurement and Generalized Fibonacci Numbers

Oktay K. Pashaev|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반복되는 연속된 결과를 가진 큐비트 상태에 대한 측정 문제로 양자 동전 뒤집기를 공식화하며, 피보나치, 트리보나치, N-보나치 수열이 유효한 구성 수와 그 확률을 결정함을 보여준다. 일반화된 피보나치 다항식을 사용하여 정확한 확률 공식을 유도하고, 생성 함수와 금률 극한을 설정하며, 힐버트 공간 트리 위의 사영 연산자를 사용하여 큐디트 시스템으로 이 프레임워크를 일반화한다.

ABSTRACT

The problem of Hadamard quantum coin measurement in $n$ trials, with arbitrary number of repeated consecutive last states is formulated in terms of Fibonacci sequences for duplicated states, Tribonacci numbers for triplicated states and $N$-Bonacci numbers for arbitrary $N$-plicated states. The probability formulas for arbitrary position of repeated states are derived in terms of Lucas and Fibonacci numbers. For generic qubit coin, the formulas are expressed by Fibonacci and more general, $N$-Bonacci polynomials in qubit probabilities. The generating function for probabilities, the Golden Ratio limit of these probabilities and Shannon entropy for corresponding states are determined. By generalized Born rule and universality of $n$-qubit measurement gate, we formulate problem in terms of generic $n$-qubit states and construct projection operators in Hilbert space, constrained on the Fibonacci tree of the states. The results are generalized to qutrit and qudit coins, described by generalized Fibonacci-$N$-Bonacci sequences.

연구 동기 및 목표

• . 반복되는 연속된 결과를 n-시행 양자 동전 뒤집기에서 피보나치 유형 수열을 사용하여 모델링한다.
• . 루카스 수와 일반화된 피보나치 수를 사용하여 중복, 삼중, N-중복 상태의 정확한 확률 공식을 도출한다.
• . 보른 규칙과 측정 게이트의 보편성을 n- 큐비트 및 큐디트 시스템으로 일반화한다.
• . 피보나치 및 N-보나치 수열 수열에 의해 제약을 받는 힐버트 공간 트리 위의 사영 연산자를 구성한다.
• . 일반화된 N-보나치 다항식과 재귀 관계를 사용하여 큐트리트 및 큐디트 시스템으로 이 프레임워크를 확장한다.

제안 방법

• . 하다마드 게이트를 사용하여 양자 동전으로 최대한 무작위 큐비트 상태를 정의한다.
• . 중복, 삼중, N-중복 상태를 피보나치, 트리보나치, N-보나치 재귀 관계를 통해 반복되는 연속된 결과로 모델링한다.
• . 일반화된 피보나치 수와 루카스 수, 큐비트 확률에 대한 다항식을 사용하여 확률 공식을 도출한다.
• . 일반화된 보른 규칙과 보편적인 n-큐비트 측정 게이트를 적용하여 힐버트 공간 트리 위의 사영 연산자를 구성한다.
• . 확률에 대한 생성 함수를 수립하고, 그들의 금률 극한을 분석한다.
• . d차원 일반화된 N-보나치 수열과 가중치가 부여된 확률의 재귀 관계를 사용하여 결과를 큐디트 시스템으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 피보나치 수열은 n-시행 양자 동전 뒤집기에서 중복 상태의 유효한 구성 수를 어떻게 기술하는가?
• RQ2 . n-시행 양자 측정에서 N-중복 상태(예: 중복, 삼중)의 정확한 확률 공식은 무엇인가?
• RQ3 . 생성 함수와 금률은 반복되는 양자 상태의 확률 분포에서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 . 일반화된 보른 규칙과 보편적인 n-큐비트 측정 게이트는 피보나치 트리 위의 힐버트 공간 사영 연산자를 어떻게 구성하는가?
• RQ5 . 일반화된 N-보나치 수열을 사용하여 d > 2 수준을 가진 큐디트 시스템으로 결과는 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• . n 시행에서 중복 상태의 경우 유효한 구성 수는 피보나치 수로 주어지며, 확률은 Pn = F_{n-1} / 2^n로 주어진다. 여기서 F_n은 피보나치 수열이다.
• . 삼중 상태의 경우 구성 수는 트리보나치 수열을 따르며, 확률은 Pn = T_{n-1} / 3^n로 주어진다. 여기서 T_n은 일반화된 트리보나치 수열이다.
• . n 시행에서 N-중복 상태의 경우 구성 수는 N-보나치 수열에 의해 결정되며, d-레벨 큐디트의 확률은 Pn = N_{n-1} / d^n로 주어진다.
• . 중복 상태의 확률 생성 함수는 큰 n의 극한에서 금률에 수렴하며, n → ∞ 일 때 Pn → 1/φ^n로 수렴한다.
• . 일반 큐비트 동전의 경우 확률는 큐비트 진폭에 대한 피보나치 다항식으로 표현되며, Pn = F_{n-1}(p)로 주어진다. 여기서 p = |c1|²이다.
• . d-레벨 큐디트 시스템의 경우, N-중복 구성 수는 일반화된 N-보나치 재귀 관계 D_n = (d-1)(D_{n-1} + D_{n-2} + ... + D_{n-N})로 주어지며, 초기 조건은 D_0 = 0, D_1 = 1이다.