[논문 리뷰] Quantum communication complexity of block-composed functions

Yaoyun Shi, Yufan Zhu|ArXiv.org|2007. 09. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 25인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 블록으로 구성된 함수에 적용 가능한 양자 통신 복잡도에 대한 새로운 하한 방법을 제안한다. 이 경우 총 부울 함수는 대칭 함수 $ f_n $ 과 '구성 블록' 함수 $ g_k $ 가 $ n $ 개의 블록에 걸쳐 복합화되어 형성된다. 이 방법은 $ g_k $ 가 충분히 어렵다면, 복합 함수의 양자 및 고전적 통신 복잡도 사이에 다항관계가 존재함을 보여주며, 대칭 문맥을 초월한 광범위한 함수 클래스에 대해 로그-등가 추측을 증명한다. 응용 분야로는 내적 함수와 상호배타성 함수가 포함된다.

ABSTRACT

A major open problem in communication complexity is whether or not quantum protocols can be exponentially more efficient than classical protocols on _total_ Boolean functions in the two-party interactive model. The answer appears to be ``No''. In 2002, Razborov proved this conjecture for so far the most general class of functions F(x, y) = f(x_1 * y_1, x_2 * y_2, ..., x_n * y_n), where f is a_symmetric_ Boolean function on n Boolean inputs, and x_i, y_i are the i'th bit of x and y, respectively. His elegant proof critically depends on the symmetry of f. We develop a lower-bound method that does not require symmetry and prove the conjecture for a broader class of functions. Each of those functions F(x, y) is obtained by what we call the ``block-composition'' of a ``building block'' g : {0, 1}^k by {0, 1}^k --> {0, 1}, with an f : {0, 1}^n -->{0, 1}, such that F(x, y) = f(g(x_1, y_1), g(x_2, y_2), ..., g(x_n, y_n)), where x_i and y_i are the i'th k-bit block of x and y, respectively. We show that as long as g itself is ``hard'' enough, its block-composition with an_arbitrary_ f has polynomially related quantum and classical communication complexities. Our approach gives an alternative proof for Razborov's result (albeit with a slightly weaker parameter), and establishes new quantum lower bounds. For example, when g is the Inner Product function for k=Ω(\log n), the_deterministic_ communication complexity of its block-composition with_any_ f is asymptotically at most the quantum complexity to the power of 7.

연구 동기 및 목표

• 두 당사자 간의 상호작용 모델에서 총 부울 함수에 대해 양자 프로토콜이 고전적 프로토콜보다 지수적으로 우월할 수 있는지 여부를 해결하는 것.
• Razborov의 결과는 대칭 문맥에만 적용 가능하나, 복합 함수의 대칭성 조건을 제거함으로써 이를 대칭 함수를 초월해 확장하는 것.
• 임의의 블록으로 구성된 함수 $ F(x,y) = f_n(g_k(x_1,y_1), \dots, g_k(x_n,y_n)) $ 에 적용 가능한 일반적인 하한 기법을 개발하는 것, 여기서 $ g_k $ 는 어려운 구성 블록이다.
• 이러한 함수에 대해 양자 및 고전적 통신 복잡도 사이의 다항관계를 확립함으로써 로그-등가 추측을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• 행렬 근사의 스펙트럼 분석에 기반한 새로운 하한 기법을 제안하며, 입력 분포와 관련된 밀도 행렬 간의 차이의 트레이스 노름에 중점을 둔다.
• 근사 차수의 쌍대 표현식(보조정리 3.1)을 사용하여 약한 하한을 강한 양자 하한으로 증폭함으로써, 내적과 같은 함수의 경우 경직성 증폭을 가능하게 한다.
• 구성 블록 $ g_k $ 에서 유도된 局소 행렬 $ \mu_0 $ 와 $ \mu_1 $ 의 텐서곱을 통해 증거 행렬을 구성함으로써 복합 함수의 근사 차수를 하한으로 제시한다.
• 삼각 부등식과 고유값 분해를 적용하여 증거 행렬의 트레이스 노름을 제어함으로써, 이 노름이 블록 수인 $ n $ 과 함께 증가하도록 보장한다.
• Razborov 원본 증명에서 사용하는 하한 다항식이나 스펙트럼 대칭성에 의존하지 않음으로써, 대칭 함수를 초월한 일반화를 달성한다.
• 만약 $ g_k $ 가 $ k = \Omega(\log n) $ 인 내적 함수라면, 결정론적 복잡도는 양자 복잡도의 7제곱 이내임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 당사자 상호작용 모델에서 총 부울 함수에 대해 양자 통신 복잡도가 고전적 복잡도보다 지수적으로 작을 수 있는가?
• RQ2 양자 및 고전적 통신 복잡도가 다항관계에 있음을 시사하는 로그-등가 추측은 비대칭 함수에 대해서도 성립하는가?
• RQ3 복합 함수에 대한 대칭성 가정을 제거하면서도 강력한 하한을 도출할 수 있는 하한 기법을 개발할 수 있는가?
• RQ4 구성 블록 $ g_k $ 가 어떤 조건을 만족해야 복합 함수 $ f_n \Box g_k $ 의 양자 및 고전적 복잡도가 다항관계를 가질 수 있는가?
• RQ5 근사 차수의 쌍대 표현식을 통해 $ g_k $ 에 대한 약한 하한을 증폭시켜 강력한 양자 하한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 블록으로 구성된 함수 $ F(x,y) = f_n(g_k(x_1,y_1), \dots, g_k(x_n,y_n)) $ 에 대해 $ g_k $ 가 충분히 어렵다면 $ D(F) = O(Q(F)^7) $ 임을 보여, 결정론적 복잡도와 양자 복잡도 사이의 다항관계를 입증한다.
• 만약 $ g_k $ 가 $ k = \Omega(\log n) $ 인 내적 함수라면, $ F $ 의 결정론적 통신 복잡도는 양자 복잡도의 7제곱 이내이다.
• 이 방법은 대칭 문맥에 대해 Razborov 결과를 약간 더 낮은 매개변수로 재증명하며, 하한 다항식이나 완전한 스펙트럼 분해에 의존하지 않는다.
• 이 기법은 $ Q(\textsc{DISJ}_n) = \Omega(n^{1/3}) $ 를 도출하며, 근사 차수의 쌍대 표현식을 사용하여 약한 하한 $ \rho(\textsc{DISJ}_k) = O(1/k) $ 에서 경직성 증폭을 수행한다.
• 만약 $ g_k^0(x, (i,b)) = x_i + b $ 라면, 이 방법은 Sherstov의 결과 $ Q(f_n \Box g_k^0) = \Omega(\widetilde{\textrm{deg}}(f_n)) $ 를 재현하며, 이는 본 방법이 더 강력한 알려진 하한과 일관됨을 보여준다.
• 이 방법은 대칭 함수를 초월하여 일반화 가능하며, 비동일하거나 비대칭인 구성 블록으로도 확장 가능하므로, 로그-등가 추측에 광범위하게 적용 가능하다.