[논문 리뷰] Quantum compiler for classical dynamics

Dimitrios Giannakis, A. Ourmazd외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 측도를 보존하고 에르고딕인 고전적 동역계를 양자 컴퓨터에서 재생핵 힐버트 공간을 통해 양자 특성 맵을 이용해 고전적 상태와 관측량을 임bedding하여 시뮬레이션하는 양자 컴파일러를 소개한다. 이 프레임워크는 쿠퍼만 연산자에 의한 유니타리 진화를 가능하게 하며, O(n) 게이트와 O(n²) 양자 푸리에 변환 단계를 가진 n 큐비트 양자 회로로 진화를 인과적으로 분해함으로써 기하급수적 속도 향상을 달성한다. 이는 Qiskit를 통해 주기적 및 준주기적 시스템에서 검증되었다.

ABSTRACT

We develop a framework for simulating measure-preserving, ergodic dynamical systems on a quantum computer. Our approach provides a new operator-theoretic representation of classical dynamics by combining ergodic theory with quantum information science. The resulting \emph{quantum compiler} enables efficient simulation of spaces of classical observables with exponentially large dimension using a quadratic number of quantum gates. The compiler is based on a quantum feature map that we introduce for representing classical states by density operators on a reproducing kernel Hilbert space, $\mathcal H$. Furthermore, an embedding of classical observables into self-adjoint operators on $\mathcal H$ is established, such that quantum mechanical expectation values are consistent with pointwise function evaluation. In this scheme, quantum states and observables evolve unitarily under the lifted action of the Koopman evolution operators of the classical system. Moreover, by virtue of the reproducing property of $\mathcal H$, the quantum system is pointwise-consistent with the underlying classical dynamics. To achieve an exponential quantum computational advantage, we project the state of the quantum system onto a finite-rank density operator on a $2^n$-dimensional tensor product Hilbert space associated with $n$ qubits. By employing discrete Fourier-Walsh transforms of spectral functions, the evolution operator of the finite-dimensional quantum system is factorized into tensor product form, enabling implementation through an $n$-channel quantum circuit with an $O(n)$ gates and no interchannel communication. Furthermore, the circuit features a quantum Fourier transform stage with $O(n^2)$ gates, which generates predictions by measurement in the standard computational basis. We implement the framework in Qiskit, and demonstrate its consistency for prototypical periodic and quasiperiodic systems.

연구 동기 및 목표

• 기하급수적 속도 향상을 달성하는 양자 프레임워크를 개발하여 고전적 동역계를 시뮬레이션하는 것.
• 새로운 연산자 이론적 표현을 통해 에르고딕 이론과 양자 정보 과학을 융합하는 것.
• 유한 차원 양자 시스템을 사용하여 고차원 공간에서 고전적 관측량의 일관된 양자 시뮬레이션을 가능하게 하는 것.
• 텐서 곱 인과성 분해와 이산 푸리에-월라시 변환을 통해 효율적인 양자 회로 구현을 달성하는 것.
• 재생핵 성질을 통해 양자 예측과 고전적 동역학 간의 점별 일관성을 확보하는 것.

제안 방법

• 고전적 상태를 양자 특성 맵을 사용하여 재생핵 힐버트 공간(H) 내의 밀도 연산자로 표현한다.
• 고전적 관측량을 H 상의 자기수반 연산자로 임베딩하여 양자 기댓값이 점별 함수 평가와 일치하도록 한다.
• 고전적 시스템의 쿠퍼만 진화 연산자를 H에 대해 유니타리로 작용하도록 승격시킨다.
• 유한 차원 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해 양자 상태를 n 큐비트에 의해 생성되는 2^n 차원 텐서 곱 힐버트 공간에 투영한다.
• 스펙트럼 함수의 이산 푸리에-월라시 변환을 사용하여 유한 차원 진화 연산자를 텐서 곱 형태로 분해한다.
• O(n) 게이트와 채널 간 통신 없이 작동하는 n채널 아키텍처로 양자 회로를 구현하며, 측정 기반 예측을 위한 O(n²)-게이트 양자 푸리에 변환 단계를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측도를 보존하고 에르고딕인 고전적 동역계는 일관된 양자 표현을 통해 양자 컴퓨터에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있는가?
• RQ2 고전적 관측량은 어떻게 양자 연산자에 임베딩될 수 있으며, 양자 기댓값이 고전적 점별 평가를 재현하도록 할 수 있는가?
• RQ3 재생핵 힐버트 공간 내에서 쿠퍼만 연산자의 구조는 어떠한가? 그리고 이를 양자 회로 구현을 위해 어떻게 이산화할 수 있는가?
• RQ4 진화 연산자는 최소한의 얽힘과 통신을 갖는 저깊이의 양자 회로로 분해될 수 있는가?
• RQ5 양자 시뮬레이션은 원래 고전적 시스템의 동역학 일관성을 어느 정도 유지하는가?

주요 결과

• 양자 컴파일러는 n 큐비트에 대해 O(n²) 양자 게이트만으로 기하급수적으로 큰 공간 내 고전적 관측량을 시뮬레이션할 수 있다.
• 재생핵 성질을 통해 프레임워크는 양자 예측과 고전적 동역학 간의 점별 일관성을 보장한다.
• 이산 푸리에-월라시 변환을 통해 진화 연산자가 텐서 곱 형태로 분해되어 O(n) 게이트와 채널 간 통신 없이 작동하는 n채널 양자 회로로 구현된다.
• O(n²) 게이트로 구성된 양자 푸리에 변환 단계는 계산 기저에서 측정 기반 예측을 가능하게 한다.
• Qiskit에서의 구현은 주기적 및 준주기적 시스템에서 이론적 프레임워크의 타당성을 성공적으로 검증하였다.
• 유한 차원 양자 시스템 내에서 쿠퍼만 연산자의 구조와 특성 맵을 활용함으로써 이 접근법은 기하급수적 양자 계산 우위를 달성한다.