[논문 리뷰] Quantum complexity and topological phases of matter

Paweł Caputa, Sinong Liu|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 11.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 다체계에서 위상적 상을 위한 새로운 탐지도로 '산개 복잡도(spread complexity)'를 제안하며, 정확히 풀 수 있는 Su-Schrieffer-Heeger (SSH) 모형에서 해석적으로 산개 복잡도가 위상적 상에서 일정해짐을 보여준다. 이 방법은 Krylov 기저를 사용하여 복잡도를 계산하며, 위상적 상과 비위상적 상을 구별할 수 있는 고유한 동역학적 행동을 드러낸다.

ABSTRACT

In this work, we find that the complexity of quantum many-body states, defined as a spread in the Krylov basis, may serve as a new probe that distinguishes topological phases of matter. We illustrate this analytically in one of the representative examples, the Su-Schrieffer-Heeger model, finding that spread complexity becomes constant in the topological phase. Moreover, in the same setup, we analyze exactly solvable quench protocols where the evolution of the spread complexity shows distinct dynamical features depending on the topological vs non-topological phase of the initial state as well as the quench Hamiltonian.

연구 동기 및 목표

• 양자 복잡도, 특히 산개 복잡도가 물질의 위상적 상을 위한 보편적 탐지도로 사용될 수 있는지 조사하기 위해.
• 1차원 SSH 모형에서 산개 복잡도의 행동을 분석하기 위해, 이는 위상적 상과 비위상적 상을 가진 모범적인 시스템이다.
• 평형 상태의 지상 상태와 비평형 쿨 퀘치 동역학에서 위상적 질서에 대한 산개 복잡도의 민감도를 테스트하기 위해.
• 전통적 탐지도인 엔트로피와 위상적 불변량과의 성능 비교를 위해.
• 정확히 풀 수 있는 모형에서 해석적 계산을 통해 산개 복잡도와 기초적인 위상적 질서 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• 산개 복잡도를 Krylov 기저를 구성하는 데 사용된 Lanczos 알고리즘을 통해 생성된 Krylov 기저를 기반으로, 기저 선택에 대한 가중치 합의 최소값으로 정의한다.
• 삼중대각형 형태로 해밀토니안을 대각화하는 Krylov 기저를 사용하여 SSH 모형의 지상 상태의 산개 복잡도를 계산한다.
• Lanczos 계수 aₙ과 bₙ을 파arms하는 데 사용되는 복귀 진폭(자기상관함수) S(s) = ⟨Ψ(s)|Ψ₀⟩을 사용한다.
• 다른 해밀토니안 하에서 초기 상태로 준비된 시스템의 시간 진동을 분석함으로써, 쿨 퀘치 프로토콜 하에서 산개 복잡도의 시간 진동을 분석한다.
• 산개 복잡도를 물리적 관측량, 특히 연산자 𝔓ⱼ = i(c†_{Aj}c_{Bj} + h.c.)의 기대값과 연결한다. 이 연산자는 국소적 얽힘의 구조를 대체로 나타낸다.
• 위상적 상과 비위상적 상에서의 감소된 밀도 행렬 ρⱼ를 비교하여, 산개 복잡도가 위상적 상에서 비트리비얼한 얽힘과 관련이 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산개 복잡도는 SSH 모형에서 위상적 상과 비위상적 상을 구별할 수 있는가?
• RQ2 해석적 계산에서 관측한 바와 같이, 지상 상태의 산개 복잡도가 위상적 상에서 일정하게 유지되는가?
• RQ3 초기 상태 또는 쿨 퀘치 해밀토니안의 위상적 성격에 따라, 산개 복잡도의 시간 진동은 어떻게 다를까?
• RQ4 산개 복잡도는 시스템 내의 얽힘 또는 국소적 상관관계 측면에서 물리적 해석을 가질 수 있는가?
• RQ5 산개 복잡도는 Nielsen의 복잡도에서처럼 게이트나 비용 함수의 선택에 관계없이 양자 다체계의 위상적 질서를 위한 보편적 탐지도로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• SSH 모형의 지상 상태에서 산개 복잡도는 위상적 상에서 일정해지며, 이는 비위상적 상과의 명확한 구별을 나타낸다.
• 비위상적 상( t₁=1, t₂=0)에서는 감소된 밀도 행렬 ρⱼ^{NP}가 순수 상태이므로, 비트리비얼한 얽힘과 특정한 𝔓ⱼ 기대값을 가진다.
• 위상적 상( t₁=0, t₂=−1)에서는 혼합된 섹터를 포함하는 감소된 밀도 행렬 ρⱼ^{TP}가 있으며, 비트리비얼한 얽힘이 존재한다. 이 경우 𝔓ⱼ는 정보의 일부만 캡처하며, 위상적 질서의 국소적이지 않은 성격을 반영한다.
• 큰 L 근사에서 산개 복잡도 밀도는 모든 위치 j에 대해 ⟨Ω|𝔓ⱼ|Ω⟩의 합에 비례하며, 이는 전역 복잡도 측정과 연결된다.
• 쿨 퀘치 프로토콜 하에서 산개 복잡도의 진동은 초기 상태와 쿨 퀘치 해밀토니안의 위상적 성격에 따라 고유한 동역학적 특성을 보인다.
• 결과는 산개 복잡도가 위상적 질서에 민감하고, 계산 가능하며 물리적으로 의미 있는 강력한 탐지도임을 시사한다. 이는 적분 가능하고 비혼돈 시스템에서도 마찬가지이다.