[논문 리뷰] Quantum Computation by Adiabatic Evolution

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone외 2명|ArXiv.org|2000. 01. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 591

한 줄 요약

이 논문은 이sov한 초기 해밀토니안에서 시작하여 해를 암시하는 최종 해밀토니안으로 진화하는 어드아바틱 양자 진화를 사용하여 만족성 문제를 해결하는 양자 알고리즘을 제안한다. 주요 기여는 일반적으로 런타임을 결정하는 에너지 갭을 추정하는 데 어려움이 있음에도 불구하고 특정 대칭 2-SAT 인스턴스에 대해 다항시간 성능을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We give a quantum algorithm for solving instances of the satisfiability problem, based on adiabatic evolution. The evolution of the quantum state is governed by a time-dependent Hamiltonian that interpolates between an initial Hamiltonian, whose ground state is easy to construct, and a final Hamiltonian, whose ground state encodes the satisfying assignment. To ensure that the system evolves to the desired final ground state, the evolution time must be big enough. The time required depends on the minimum energy difference between the two lowest states of the interpolating Hamiltonian. We are unable to estimate this gap in general. We give some special symmetric cases of the satisfiability problem where the symmetry allows us to estimate the gap and we show that, in these cases, our algorithm runs in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 만족성 문제와 같은 NP-완전 문제를 어드아바틱 진화를 사용하여 해결하는 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 어드아바틱 양자 계산이 어려운 조합 최적화 문제를 다항시간 내에 해결할 수 있는지 분석하기 위해.
• 어드아바틱 진화 시간이 다항식으로 유지되는 구조적 조건을 규명하기 위해.
• 어드아바틱 양자 계산과 표준 양자 회로 모델 간의 다리를 놓기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 초기 해밀토니안의 지배 상태가 알려져 있고, 최종 해밀토니안의 지배 상태가 만족할 수 있는 할당을 암시하는 시간에 따라 변하는 해밀토니안 H(t)를 사용한다.
• 시스템은 H(t)에 따라 슈뢰딩거 방정식을 따라 진화하며, 진화가 충분히 느리면 어드아바틱 정리에 따라 순간적인 지배 상태에 머무르게 된다.
• 해밀토니안은 각 문장에 해당하는 항 H_Ca(t)의 합으로 구성되며, 각 항은 해당 문장에 속한 큐비트만에 작용한다.
• 진화 시간 T는 T ≫ E/g_min² 를 만족해야 하며, 여기서 g_min 은 지배 상태와 첫 번째 옹진 상태 사이의 최소 에너지 갭이다.
• 어드아바틱 알고리즘은 시간 진화 연산자를 소수의 큐비트 유니터리로 근사하는 토트러-수즈키 공식을 사용하여 표준 양자 회로 모델로 매핑된다.
• 대칭 2-SAT 문제의 경우, 에너지 갭 g_min 은 n^p 로 스케일링되며, p ≈ 0.7 이고, 이에 따라 다항시간 런타임 T ∼ n^(2−2p) 이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어드아바틱 양자 진화는 3-SAT와 같은 NP-완전 문제를 다항시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 만족성 문제의 어떤 구조적 성질이 어드아바틱 알고리즘이 다항시간 내에 수행되도록 허용하는가?
• RQ3 어드아바틱 양자 계산에서 최소 에너지 갭 g_min 이 필요한 진화 시간 T 에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 어드아바틱 양자 알고리즘은 표준 양자 회로 모델을 사용하여 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 어드아바틱 갭과 특정 2-SAT 문제 클래스를 해결하는 데 드는 복잡도 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 정규적인 구조를 가진 세 가지 대칭 2-SAT 문제에 대해 어드아바틱 알고리즘이 다항시간 런타임을 달성하며, 진화 시간 T 는 n^(2−2p) 로 스케일링되며, 여기서 p ≈ 0.7 이다.
• 이러한 문제들에 대해 최소 에너지 갭 g_min 은 n^p 로 스케일링되며, p ≃ 0.7 이다. 이에 따라 다항시간 진화가 가능해진다.
• 그로버 문제(상대화된 만족성 문제)에서는 알고리즘이 지수시간이 소요되며, 이는 알려진 하한값과 일치한다.
• 어드아바틱 알고리즘은 토트러-수즈키 공식을 사용하여 표준 양자 회로 모델로 효율적으로 매핑될 수 있으며, 필요한 유니터리 연산의 수는 T² 곱하기 n 에 대한 다항식으로 스케일링된다.
• T 가 n 에 대해 다항식일 경우, 해당 회로 모델 형태 역시 소수의 큐비트 유니터리 연산을 다항식 수로만 필요로 한다.
• 분석 결과 어드아바틱 접근법은 특정한 구조를 가진 2-SAT 인스턴스를 효율적으로 해결할 수 있으며, 이러한 특정 케이스에 대해 고전적 방법에 비해 양자적 스피드업을 제공한다.