[논문 리뷰] Quantum computational finance: martingale asset pricing for incomplete markets

Patrick Rebentrost, Alessandro Luongo외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 불완전한 금융 시장에서 마팅게일 자산 가격 결정을 위한 새로운 양자 알고리즘을 제안한다. 양자 선형 프로그래밍 기법—특히 양자 0-합 게임, 양자 심플렉스, 양자 의사역행렬 방법—을 사용하며, 양자 몬테카를로에 의존하지 않는다. 시장 데이터에서 직접 위험 중립 측도를 추출함으로써 고전적 방법 대비 잠재적인 제곱근 속도 향상을 달성하며, 금융 부트스트랩핑과 유사하다.

ABSTRACT

A derivative is a financial security whose value is a function of underlying traded assets and market outcomes. Pricing a financial derivative involves setting up a market model, finding a martingale (``fair game") probability measure for the model from the given asset prices, and using that probability measure to price the derivative. When the number of underlying assets and/or the number of market outcomes in the model is large, pricing can be computationally demanding. We show that a variety of quantum techniques can be applied to the pricing problem in finance, with a particular focus on incomplete markets. We discuss three different methods that are distinct from previous works: they do not use the quantum algorithms for Monte Carlo estimation and they extract the martingale measure from market variables akin to bootstrapping, a common practice among financial institutions. The first two methods are based on a formulation of the pricing problem into a linear program and are using respectively the quantum zero-sum game algorithm and the quantum simplex algorithm as subroutines. For the last algorithm, we formalize a new market assumption milder than market completeness for which quantum linear systems solvers can be applied with the associated potential for large speedups. As a prototype use case, we conduct numerical experiments in the framework of the Black-Scholes-Merton model.

연구 동기 및 목표

• 다수의 기초 자산과 가능한 시장 결과를 고려한 유동성 낮은 파생상품의 가격 결정 계산 과제를 해결한다.
• 금융 실무에서의 부트스트랩핑을 모방하여, 시장 데이터에서 직접 마팅게일 측도를 추출하는 양자 알고리즘을 개발한다.
• 불완전 시장 모델에서 양자 선형 대수 기법을 활용해 마팅게일 자산 가격 결정의 상당한 속도 향상을 실현한다.
• 시장 완전성보다 더 약한 조건인 '최소 제곱 시장'이라는 새로운 시장 조건을 정의하여, 양자 선형 시스템 해법기법을 통한 대규모 양자 속도 향상을 가능하게 한다.
• 매개변수 모델에서의 양자 위험 중립 가격 결정 프레임워크를 제공하고, 현실적인 설정에서의 양자 자원 요구량을 평가한다.

제안 방법

• 양자 최적화 서브루틴의 적용을 가능하게 하기 위해 파생상품 가격 결정 문제를 선형 프로그래밍 문제로 재구성한다.
• 양자 0-합 게임 알고리즘을 사용해 ε-가능한 마팅게일 측도를 계산하고, 상대 오차를 가진 가격을 반환한다.
• 양자 심플렉스 알고리즘을 적용해 타당 측도의 볼록 집합 내에서 파생상품 가격을 최대화 또는 최소화하는 마팅게일 측도를 찾는다.
• 양자 의사역행렬 알고리즘을 활용해 등가 마팅게일 측도에 ε-근접한 양자 상태를 생성한다.
• 시장 완전성의 완화인 '최소 제곱 시장' 개념을 도입하여, 양자 선형 시스템 해법기법의 효율적 사용을 가능하게 한다.
• 암함수 증폭 및 추정 기법을 서브루틴으로 활용하지만, 핵심 가격 결정 메커니즘은 양자 몬테카를로에 의존하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 몬테카를로 방법에 의존하지 않고도 시장 데이터에서 마팅게일 측도를 추출하는 데에 양자 알고리즘을 사용할 수 있는가?
• RQ2 불완전 시장 설정에서 양자 선형 프로그래밍 알고리즘이 고전적 방법보다 우월한 조건은 무엇인가?
• RQ3 양자 0-합 게임 알고리즘은 수렴성과 가용성 허용 오차 측면에서 고전적 방법과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ4 런타임에 영향을 미치는 요소 $1/\langle\bm{D}|\bm{q}\rangle$는 어떤가? 실용적인 파생상품 모델에서 경제적 추론을 통해 유계로 간주할 수 있는가?
• RQ5 시장 완전성 가정을 완화함으로써 양자 선형 시스템 해법기법의 금융 가격 결정 분야 응용 범위를 넓힐 수 있는가?

주요 결과

• 양자 0-합 게임 알고리즘은 ε-가능한 마팅게일 측도를 반환하고 상대 오차를 가진 파생상품 가격을 출력하며, 런타임이 $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\epsilon^2)$ 비례한다.
• 양자 심플렉스 및 의사역행렬 알고리즘은 등가 마팅게일 측도에 ε-근접한 양자 상태를 생성하여 고정밀도 가격 결정을 가능하게 한다.
• 실제 사례에서는 $N$과 $K$에 대해 다항식적으로 증가하지 않는 $1/\langle\bm{D}|\bm{q}\rangle$ 요소가 런타임에 영향을 주며, 대부분의 파생상품이 상당수의 시나리오에서 비영인 수익을 가지므로 이를 고려할 수 있다.
• '최소 제곱 시장'이라는 시장 조건은 시장 완전성보다 더 약한 조건이며, 양자 선형 시스템 해법기법을 통한 잠재적 대규모 속도 향상을 가능하게 한다.
• μ=1, σ=2인 BSM 모델과 행사가 150, 기초 자산 가격이 100인 팻 옵션의 경우, 비율 $\rho = D_{\rm max}/\Pi_D \approx 2$로 나타나 런타임 오버헤드가 관리 가능하다.
• 제안된 알고리즘은 정의상 정확한 등가 마팅게일 측도를 반환하지 않지만, 실용적인 파생상품 가격 결정에 충분히 정확한 근사치를 제공한다.