[논문 리뷰] Quantum computational finance: quantum algorithm for portfolio optimization

Patrick Rebentrost, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 31

한 줄 요약

이 논문은 포트폴리오 최적화를 위한 양자 알고리즘을 제안하며, 양자 랜덤 액세스 메모리(qRAM)와 하로우-하시디움-할로우드(HHL) 알고리즘을 활용하여 최적의 리스크-수익 트레이드오프 곡선을 계산하고, 시간 복잡도가 poly(log(TN))인 최적 포트폴리오의 양자 상태를 생성함으로써, 기존 방법이 poly(TN)로 스케일링되는 것에 비해 잠재적인 양자 가속을 제공한다.

ABSTRACT

We present a quantum algorithm for portfolio optimization. We discuss the market data input, the processing of such data via quantum operations, and the output of financially relevant results. Given quantum access to the historical record of returns, the algorithm determines the optimal risk-return tradeoff curve and allows one to sample from the optimal portfolio. The algorithm can in principle attain a run time of ${ m poly}(\log(N))$, where $N$ is the size of the historical return dataset. Direct classical algorithms for determining the risk-return curve and other properties of the optimal portfolio take time ${ m poly}(N)$ and we discuss potential quantum speedups in light of the recent works on efficient classical sampling approaches.

연구 동기 및 목표

• 양자 선형 대수 기법을 사용하여 포트폴리오 최적화 문제를 효율적으로 해결하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 주어진 기대 수익에 대해 리스크-수익 곡선을 계산하고 최소 리스크 포트폴리오를 식별하는 데에서 양자 가속을 가능하게 하는 것.
• 양자 상태 준비와 확률 추정을 사용하여 높은 정밀도로 최적 포트폴리오에서 샘플링할 수 있도록 하는 방법을 보여주는 것.
• 양자 계산 출력에서 고전적으로 의미 있는 재무 결과를 추출하는 데 도전하며, 실용적 관련성을 보장하는 것.

제안 방법

• 역사적 수익 데이터를 양자 중첩 상태에 로드하기 위해 qRAM를 사용하여 대규모 데이터 세트에 효율적으로 액세스할 수 있도록 한다.
• 포트폴리오 이론의 이차 최적화 문제의 핵심이 되는 공분산 행렬의 역행렬을 구하기 위해 HHL 알고리즘을 적용한다.
• 제어 회전과 확률 증폭을 사용하여 평균 조정 수익을 양자 상태에 인코딩하고, 공분산 행렬에 비례하는 상태를 준비한다.
• 후행 선택(postselection)과 확률 추정을 활용하여 공분산 행렬의 트레이스를 추정하고, 상태 준비의 성공 확률을 검증한다.
• 최적 포트폴리오의 양자 상태는 행렬 역행렬을 통해 준비되며, 이를 샘플링하여 희소하고 근사 최적의 포트폴리오 할당을 얻을 수 있다.
• 최종 출력인 리스크-수익 곡선 또는 최적 포트폴리오 상태가 고전적으로 의미 있는 방식으로 측정되고 해석될 수 있도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 poly(TN) 스케일링과 비교해, 포트폴리오 최적화에 대해 양자 알고리즘이 poly(log(TN))의 런타임 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ2 등차약한 이차 계획 문제를 해결하기 위해 양자 선형 대수 기법을 어떻게 조정할 수 있는가?
• RQ3 qRAM와 확률 증폭은 최적 포트폴리오의 효율적 상태 준비에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 양자 출력은 어떻게 측정하고 해석하여 포트폴리오 가중치나 리스크-수익 프로파일과 같은 실질적인 재무 통찰을 도출할 수 있는가?
• RQ5 실제 데이터 조건 하에서 최적 포트폴리오 상태를 준비하는 데 있어 실용적 한계와 성공 확률은 무엇인가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 리스크-수익 곡선 계산과 최적 포트폴리오 상태 준비에 대해 O(poly(log(TN)))의 런타임을 달성하여, 기존 방법에 비해 잠재적인 지수적 가속을 제공한다.
• 수익이 1의 주어진 크기일 경우, 평균 조정 수익 상태 준비의 성공 확률 P_χ는 Ω(1)로 스케일링되어 일반적인 재무 데이터 조건 하에서 효율적인 상태 준비가 가능하다.
• 후행 선택과 확률 추정을 통해 공분산 행렬의 트레이스를 추정할 수 있으며, P_χ = (δ²(T−1)trΣ)/(4TN)으로 표현되어 핵심 통계적 성질의 검증이 가능하다.
• 알고리즘은 최적 포트폴리오 상태에서 샘플링을 가능하게 하여 근사 최적의 희소 포트폴리오 할당을 도출하며, 실생활 투자 전략에 실용적으로 유용하다.
• 이 방법은 포트폴리오 최적화와 같은 문제에서 양자 우월성이 실현 가능하다는 것을 보여주며, 특히 작은 계산적 개선이 재무적으로 매우 가치가 높기 때문에 특히 그렇다.
• qRAM와 오류 보정 기법이 효과적으로 구현된다면, 이 접근법은 근접한 중규모 양자 장치와도 호환된다.