[논문 리뷰] Quantum Computing and Hidden Variables II: The Complexity of Sampling Histories

Scott Aaronson|ArXiv.org|2004. 08. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 은닉 변수 이론에서 은닉 변수의 전체 역사를 접근할 수 있도록 하는 새로운 계산 모델인 DQP(Dynamical Quantum Polynomial-Time)을 소개한다. '정체성에 대한 무관심' 공리 하에서 DQP는 다항 시간 내에 그래프 이sov머피즘과 근사적인 최단 벡터 문제를 효율적으로 해결하며, N개의 항목을 가진 데이터베이스를 O(N^{1/3}) 쿼리 내에 검색할 수 있다—이것은 그로버의 O(N^{1/2})보다 빠르며, 고전적 기준인 O(N)보다도 빠르다. 그러나 NP-완전 문제를 해결할 수는 없으며, 이는 DQP가 BQP보다 엄밀히 더 강력하지만 여전히 제한되어 있음을 시사한다.

ABSTRACT

This paper shows that, if we could examine the entire history of a hidden variable, then we could efficiently solve problems that are believed to be intractable even for quantum computers. In particular, under any hidden-variable theory satisfying a reasonable axiom called "indifference to the identity," we could solve the Graph Isomorphism and Approximate Shortest Vector problems in polynomial time, as well as an oracle problem that is known to require quantum exponential time. We could also search an N-item database using O(N^{1/3}) queries, as opposed to O(N^{1/2}) queries with Grover's search algorithm. On the other hand, the N^{1/3} bound is optimal, meaning that we could probably not solve NP-complete problems in polynomial time. We thus obtain the first good example of a model of computation that appears slightly more powerful than the quantum computing model.

연구 동기 및 목표

• 은닉 변수 이론에서 은닉 변수의 전체 역사를 샘플링할 수 있는 모델의 계산 능력을 조사하기 위해.
• 그러한 접근이 표준 양자 계산보다 계산적 이점이 있는지 여부를 규명하기 위해.
• DQP라는 복잡도 클래스를 규명하고 BQP 및 기타 알려진 복잡도 클래스와 비교하기 위해.
• 특히 데이터베이스 검색에 대해, 역사를 고려한 모델에서의 쿼리 복잡도 하한을 설정하기 위해.
• 보험 메이크니즘과 같은 물리 이론의 시뮬레이션에 미치는 영향을 탐구하기 위해.

제안 방법

• 은닉 변수의 전체 역사를 샘플링할 수 있는 모델을 사용해 다항 시간 내에 해결 가능한 문제의 집합으로서 DQP라는 새로운 복잡도 클래스를 정의한다.
• 물리적으로 타당한 공리인 '정체성에 대한 무관심'을 도입하여, 은닉 변수의 역동성이 임의의 정체성 작용에 영향을 받지 않도록 보장한다.
• Bennett 등이 제안한 하이브리드 추론 기법을 활용해, 마킹된 항목의 위치가 다를 경우의 역사를 기반으로 한 추적 거리의 상한을 설정함으로써 쿼리 복잡도의 하한을 도출한다.
• 유량 이론(FT)을 시뮬레이션하기 위한 고전적 지수 시간 알고리즘을 구성함으로써 DQP ⊆ EXP임을 보인다.
• 기존의 SZK와 BQP 사이의 오라클 분리 결과를 활용해, 오라클 기반에서 DQP가 BQP보다 엄밀히 더 강력함을 입증한다.
• 각 유닛리드 진동 단계 동안 은닉 변수 궤적을 추적하는 프로토콜을 구성함으로써, O(N^{1/3})의 쿼리로 충분히 데이터베이스 검색이 가능하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 은닉 변수 이론에서 은닉 변수의 전체 역사를 샘플링하는 것이 표준 양자 계산보다 계산 속도 향상에 기여할 수 있는가?
• RQ2 DQP 모델은 BQP보다 엄밀히 더 강력한가? 만약 그렇다면 어떤 물리적 가정 하에서인가?
• RQ3 DQP 모델에서 N개의 항목을 가진 데이터베이스를 검색하는 데 필요한 쿼리 복잡도는 얼마이며, O(N^{1/3})이 최적인가?
• RQ4 DQP 모델은 BQP에 알려지지 않은 문제들인 그래프 이sov머피즘과 근사적인 최단 벡터 문제를 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 보험 메이크니즘을 DQP 프레임워크 내에서 시뮬레이션할 수 있으며, '정체성에 대한 무관심' 공리가 이 과정에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정체성에 대한 무관심 공리 하에서 DQP 모델은 그래프 이sov머피즘 문제와 근사적인 최단 벡터 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있다.
• DQP 모델은 O(N^{1/3})의 쿼리 복잡도로 데이터베이스 검색을 수행할 수 있으며, 이는 그로버의 O(N^{1/2})보다 빠르고 고전적 최적 기준인 O(N)보다도 빠르다.
• O(N^{1/3})의 쿼리 복잡도 하한은 하이브리드 추론 기법을 통해 검증되었으며, 마킹된 항목의 위치 변화를 감지하기 위해 최소 Ω(N^{1/3})의 계산 단계가 필요하다는 것을 보여준다.
• 오라클 기반에서 NP가 DQP에 포함되지 않는다는 것이 입증되었으며, 이는 DQP가 NP-완전 문제를 효율적으로 해결하지 못함을 의미한다.
• SZK ⊆ DQP라는 결과와 기존의 오라클 분리 결과를 조합함으로써, 오라클 기반에서 DQP가 BQP보다 엄밀히 더 강력함을 입증하였다.
• 이 모델은 양자 계산보다 略적으로 더 강력한 계산 모델의 독립적인 동기 부여된 예시를 제공하며, NP를 P로 축소시키지 않는다.