[논문 리뷰] Quantum Computing, NP-complete Problems and Chaotic Dynamics

Masanori Ohya, И. В. Волович|ArXiv.org|1999. 12. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 보편적인 양자계산의 한계를 넘어서 NP-완전 문제, 특히 부울 만족 가능성 문제(SAT)를 다항 시간 내에 해결할 수 있는 새로운 혼돈 양자계산 모델을 제안한다. 이 모델은 로지스틱 맵 기반의 혼돈 역학 증폭기와 양자컴퓨터를 융합하여 비선형 하트리-폭 동역학을 활용함으로써 비선형 양자 게이트와 페르미 통계에 기반한 새로운 종류의 얽힘을 가능하게 하여, 기존 양자계산 이론을 넘어서는 NP-완전 문제의 효율적 해결 가능성을 제시한다.

ABSTRACT

An approach to the solution of NP-complete problems based on quantum computing and chaotic dynamics is proposed. We consider the satisfiability problem and argue that the problem, in principle, can be solved in polynomial time if we combine the quantum computer with the chaotic dynamics amplifier based on the logistic map. We discuss a possible implementation of such a chaotic quantum computation by using the atomic quantum computer with quantum gates described by the Hartree-Fock equations. In this case, in principle, one can build not only standard linear quantum gates but also nonlinear gates and moreover they obey to Fermi statistics. This new type of entaglement related with Fermi statistics can be interesting also for quantum communication theory.

연구 동기 및 목표

• NP-완전 문제를 효율적으로 해결하는 데 오랫동안 해결되지 않은 과제를 해결하고자 하며, 특히 SAT와 같은 문제들이 고전적으로는 지수 시간이 소요되는 데에 초점을 맞춘다.
• 표준 양자 알고리즘이 블랙박스 모델에서 NP-완전 문제를 효율적으로 해결할 수 없는 한계를 극복하기 위해, 양자계산과 혼돈 역학을 융합할 수 있는지 탐색하고자 한다.
• 비선형 역학(로지스틱 맵를 통한)을 활용해 양자 진폭을 증폭함으로써 다항 시간 내에 해결이 가능한 새로운 계산 모델인 '혼돈 양자 계산'을 제안하고자 한다.
• 원자 내 다체 전자 시스템이 하트리-폭 방정식에 의해 제어되는 물리적 시스템을 통해 비선형 양자 게이트를 어떻게 실현할 수 있는지 탐구하고자 한다. 이를 통해 페르미 통계에 기반한 새로운 종류의 얽힘을 실현하고자 한다.
• 원자 양자컴퓨터가 내재한 비선형 동역학과 슬래터 행렬식 구조를 통해 선형 및 비선형 게이트를 모두 지원할 수 있음을 보여주어, 양자계산의 새로운 범주를 제시하고자 한다.

제안 방법

• NP-완전 문제의 해에 관련된 작은 양자 진폭을 증폭하기 위해 로지스틱 맵 기반의 혼돈 역학 증폭기를 양자계산 프레임워크에 통합한다.
• 큐비트가 단일 원자 내 전자 상태에 코딩된 원자 양자컴퓨터 모델을 사용하며, 다큐비트 상태는 페르미 통계를 만족시키기 위해 슬래터 행렬식으로 기술된다.
• 전자 스핀 공명(ESR)을 통해 양자 게이트를 구현하고, 다전자 시스템을 지배하는 비선형 하트리-폭 방정식을 활용해 표준 선형 게이트를 비선형으로 확장한다.
• N전자 시스템의 비선형 동역학을 하트리-폭 근사로 모델링하여, 일차 입자 오비탈에 대한 비선형 슈뢰딩거 유사 방정식을 유도한다.
• 효율적인 비선형 게이트 동역학을 행렬 방정식으로 기술한다: $ i\frac{d\varphi}{dt} = A\varphi + B(\varphi)\varphi $, 여기서 $ B $ 는 상태 $ \varphi $ 에 의존하며, 외부 자기장으로 비선형성의 조절이 가능하다.
• 혼란 증폭기를 적용하여 작은 해 진폭(예: $ q > 0 $)을 탐지하기 위해 로지스틱 맵을 반복적으로 반복하고, 반복 측정을 통해 해와 비해가 아닌 경우를 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 NP-완전 문제에서 작은 해 진폭을 증폭하기 위해 혼돈 역학을 양자계산에서 유용하게 활용할 수 있는가?
• RQ2 다체 전자 동역학을 활용해 원자 양자컴퓨터와 같은 물리적 시스템에서 비선형 양자 게이트를 실현할 수 있는가?
• RQ3 다전자 원자 내 전자의 페르미 통계가 새로운 종류의 얽힘을 이끌어내어 계산 능력을 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 표준 양자 알고리즘의 알려진 한계에도 불구하고, 양자계산과 혼돈 증폭기를 융합하면 SAT 문제에 대해 다항 시간 내에 해결이 가능한가?
• RQ5 원자 시스템 내 하트리-폭 방정식이 비선형 양자 게이트를 실현하기 위한 실현 가능한 물리적 플랫폼을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 혼돈 양자컴퓨터는 로지스틱 맵 기반의 혼돈 역학 증폭기를 양자계산과 융합함으로써 SAT 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있다.
• 원자 양자컴퓨터 내에서 하트리-폭 방정식을 통해 다전자 시스템의 비선형 시간 진화를 기반으로 비선형 양자 게이트를 실현할 수 있다.
• 다전자 상태를 기술하는 슬래터 행렬식의 사용은 표준 양자 얽힘과는 다름없는, 페르미 통계에 뿌리를 둔 새로운 종류의 얽힘을 도입한다.
• 시스템의 비선형 동역학은 행렬 방정식 $ i\frac{d\varphi}{dt} = A\varphi + B(\varphi)\varphi $ 로 기술되며, 외부 자기장으로 비선형성 조절이 가능하다.
• 혼란 증폭기는 로지스틱 맵을 반복적으로 반복함으로써 작은 해 진폭(예: $ q > 0 $)을 탐지할 수 있으며, 반복 횟수는 입력 크기의 다항함수로 제한된다.
• 비선형 양자 동역학과 혼돈 증폭이 물리적으로 실현 가능하다면, NP-완전 문제는 다항 시간 내에 해결될 수 있으며, 이는 BQP가 NP-완전 문제를 해결할 수 없다는 전통적 견해에 도전하는 바이다.