[논문 리뷰] Quantum constraint learning for quantum approximate optimization algorithm

Santosh Kumar Radha|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 위한 양자 제약 학습(Quantum Constraint Learning, QCL)을 제안하며, 양자 기계학습을 활용해 조합 최적화 문제에서 경직된 제약 조건을 강제하는 믹서 해밀토니안을 학습한다. 이 방법은 상태의 진동을 탈출 가능 부분공간에 제한하는 유니타리 진동을 학습하여, NISQ 장치에서 회로 깊이와 제약 조건 정확도 사이의 탄력적인 트레이드오프를 가능하게 하며, 새로운 워샤르슈타인 기반 성능 지표를 통해 무작위 또는 제약 조건이 없는 해보다 더 나은 제약 조건 강제 성능을 보여준다.

ABSTRACT

The quantum approximate optimization algorithm (QAOA) is a hybrid quantum-classical variational algorithm that offers the potential to handle combinatorial optimization problems. Introducing constraints in such combinatorial optimization problems poses a significant challenge in the extensions of QAOA to support relevant larger-scale problems. This paper introduces a quantum machine learning approach to learn the mixer Hamiltonian required to hard constrain the search subspace. We show that this method can be used for encoding any general form of constraints. One can directly plug the learnt unitary into the QAOA framework using an adaptable ansatz. This procedure gives the flexibility to control the depth of the circuit at the cost of the accuracy of enforcing the constraint, thus having immediate application in the Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) era. We also develop an intuitive metric that uses Wasserstein distance to assess the performance of general approximate optimization algorithms with/without constraints. Finally, using this metric, we evaluate the performance of the proposed algorithm.

연구 동기 및 목표

• 기존 믹서 해밀토니안 설계로는 어려운 QAOA에서 일반적인 경직된 제약 조건을 강제하는 문제를 해결하기 위해.
• 진동 중 제약 조건 부분공간을 유지하는 유연하고 학습 가능한 믹서 해밀토니안을 양자 기계학습을 통해 개발하기 위해.
• 노이즈가 많은 중규모 양자(NISQ) 장치에서 회로 깊이와 제약 조건 정확도 사이의 조절 가능한 트레이드오프를 가능하게 하기 위해.
• 근사 최적화 알고리즘에서 제약 조건 강제 성능을 정량적으로 평가하기 위한 1-워샤르슈타인 거리 기반 신규 성능 지표를 도입하기 위해.
• 학습된 믹서가 타당 부분공간 내에서 해의 피요르티를 유지하는 데 있어 무작위 및 제약 조건이 없는 해보다 뛰어나게 성능을 발휘함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 제약 조건 해밀토니안 $ H_{qcl} $의 시간 진동 단위 $ e^{-iH_{qcl}t} \ket{\psi_i} \in \mathcal{H}_c $ 를 학습하기 위해 양자 회로를 훈련하여, 모든 $ \ket{\psi_i} \in \mathcal{H}_c $ 에 대해 성립하도록 한다.
• 제약 조건 부분공간 $ \mathcal{H}_c $ 내에서 상태 진동의 피요르티를 기반으로 한 비용 함수를 사용하는 변분 양자 회로를 사용한다.
• 학습된 $ H_{qcl} $ 를 QAOA 프레임워크에 믹서 해밀토니안으로 통합하여 기존의 X-믹서와 같은 표준 믹서를 대체한다.
• 성능 평가를 위한 유계 지표를 가능하게 하기 위해, 상태를 제약 조건 이행도 순서로 우선 정렬하고, 그 다음 QUBO 비용 순서로 정렬하는 변환 기저 $ \ket{\tilde{i}} $ 를 정의한다.
• 1-워샤르슈타인 거리 지표 $ \zeta(\ket{\psi^*}) = 1 - W_1(\ket{\tilde{0}}, \ket{\psi^*}) $ 를 구성하며, 여기서 $ \ket{\tilde{0}} $ 은 이상적인 해를 나타내고 $ \ket{\psi^*} $ 는 출력 상태이다.
• 이 지표를 사용해 QCL-QAOA를 무작위 및 제약 조건이 없는 QAOA와 비교하며, $ \zeta = 1 $ 은 완벽한 해 집중을 의미하고 $ \zeta = 0.5 $ 은 무작위 성능을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 기계학습 접근법이 QAOA에서 임의의 경직된 제약 조건을 강제하는 믹서 해밀토니안을 효과적으로 학습할 수 있는가?
• RQ2 학습된 믹서를 QAOA에서 사용할 때 회로 깊이와 제약 조건 정확도 사이의 트레이드오프는 어떻게 나타나는가?
• RQ3 워샤르슈타인 기반 지표는 근사 최적화에서 제약 조건 강제 성능을 정량적으로 평가하기 위해 유계적이며 직관적인 측정 방법을 제공할 수 있는가?
• RQ4 QCL-QAOA가 타당 부분공간 내에서 해의 피요르티를 유지하는 데 있어 무작위 및 제약 조건이 없는 QAOA보다 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 QAOA 깊이 $ p $ 가 증가함에 따라 QCL-QAOA의 성능은 어떻게 변화하며, 제약 조건 부분공간 외부로의 泄漏가 발생하기 전에 최적의 $ p_0 $ 가 존재하는가?

주요 결과

• QCL-QAOA 방법은 제약 조건 부분공간 $ \mathcal{H}_c $ 에 상태 진동이 제한되는 믹서 해밀토니안을 성공적으로 학습하여, 경직된 제약 조건 강제의 이론적 조건을 충족시킨다.
• 성능 지표 $ \zeta $ 는 0에서 1 사이로 유계이며, $ \zeta = 1 $ 은 완벽한 $ \delta $-함수 해를 의미하고 $ \zeta = 0.5 $ 는 무작위 성능을 의미하므로 정량적 비교가 가능하다.
• 3 큐비트 예제에서 QCL-QAOA는 최적 해에 대해 성능 지표 $ \zeta \approx 0.9 $ 를 달성하여, 무작위 초기화($ \zeta = 0.5 $) 와는 현저히 높은 성능을 보였다.
• 이 방법은 최적의 $ p_0 $ 깊이를 보이며, 이 시점에서 제약 조건 강제 성능이 최고조에 이르며, 이를 초과하면 비제약 부분공간으로의 泄漏로 인해 성능이 점차 전역 최적해에 수렴하는 표준 QAOA와 유사하게 떨어진다.
• 학습된 믹서는 깊이가 깊어질수록 제약 조건 정확도는 향상되지만 노이즈와 泄漏로 인한 오류가 증가하므로, NISQ 시대의 응용에 적합한 조절 가능한 트레이드오프를 제공한다.
• 이 방법은 제약 조건의 유형에 관계없이 일반화 가능하며, 학습 절차가 특정 제약 조건의 구조에 의존하지 않기 때문에 QAOA 프레임워크에 직접 통합 가능하고, 적응형 앤사츠를 제공한다.