[논문 리뷰] Quantum Cyclic Code

Sagarmoy Dutta, Piyush P. Kurur|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 표준 CSS 구성 이외의 양자 설정으로 고전적 순환 코드의 일반화로서 양자 순환 코드를 도입한다. [[5,1,3]], [[17,1,7]], 그리고 [[17,9,3]] 매개변수를 가진 새로운 비-CSS 양자 순환 코드를 제시하고, 길이 $4^m+1$인 양자 정규화 코드에 대해 BCH 거리 프레임워크를 이용한 다항식 시간 양자 디코딩 알고리즘을 개발하여 $ (d-1)/2 $ 오류까지 수정할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In this paper, we define and study \emph{quantum cyclic codes}, a generalisation of cyclic codes to the quantum setting. Previously studied examples of quantum cyclic codes were all quantum codes obtained from classical cyclic codes via the CSS construction. However, the codes that we study are much more general. In particular, we construct cyclic stabiliser codes with parameters $[[5,1,3]]$, $[[17,1,7]]$ and $[[17,9,3]]$, all of which are \emph{not} CSS. The $[[5,1,3]]$ code is the well known Laflamme code and to the best of our knowledge the other two are new examples. Our definition of cyclicity applies to non-stabiliser codes as well; in fact we show that the $((5,6,2))$ nonstabiliser first constructed by Rains\etal~ cite{rains97nonadditive} and latter by Arvind \etal~\cite{arvind:2004:nonstabilizer} is cyclic. We also study stabiliser codes of length $4^m +1$ over $\mathbb{F}_2$ for which we define a notation of BCH distance. Much like the Berlekamp decoding algorithm for classical BCH codes, we give efficient quantum algorithms to correct up to $\floor{\frac{d-1}{2}}$ errors when the BCH distance is $d$.

연구 동기 및 목표

• 양자 도메인에서 고전적 순환 코드의 자연스러운 일반화로 양자 순환 코드를 정의하고 특성화하기.
• CSS 유형이 아닌 새로운 양자 정규화 코드를 구성하기, [[5,1,3]], [[17,1,7]], 그리고 [[17,9,3]] 코드 포함.
• 비정규화 코드로의 순환성 개념을 확장하여, 새로운 정의 하에 ((5,6,2)) 코드가 순환임을 보여주기.
• 길이 $4^m+1$인 정규화 코드에 대해 $_2$ 위에서 BCH 거리의 개념을 정의하여 효율적인 디코딩 가능하게 하기.
• BCH 오류 수정 한계 내에서 이러한 코드에 대한 다항식 시간 양자 디코딩 알고리즘 개발하기.

제안 방법

• 기본 정규화 그룹 위에서 이동 연산자의 작용을 통해 양자 순환 코드를 정의하여 고전적 순환 코드를 양자 설정으로 일반화하기.
• 양자 코드를 Gottesman 하위군과 그에 해당하는 $_p^{2n}$ 내의 완전히 비대칭 부분공간으로 표현하기 위해 Gottesman-Knill 프레임워크를 사용하기.
• 코드 구조를 기술하고 오류 다항식의 효율적 복구를 가능하게 하기 위해 $_4[X]/(X^n - 1)$ 내의 기본 이상수 $(g,h)$ 를 도입하기.
• 오류 다항식 계수를 생성자 다항식 모듈로에서 복구하기 위해 단계적 추정과 양자 푸리에 샘플링을 활용하기.
• BCH 거리 $d$ 가 길이 $n = 4^m + 1$ 인 코드에 대해 정의된 경우, $ (d-1)/2 \uf0e9$ 이내의 오류를 수정하기 위해 Berlekamp 알고리즘을 적용하기.
• 기본 Gottesman 하위군이 순환일 경우 결과 코드도 순환임을 보여주는 방식으로, 이 프레임워크를 가짜 정규화 코드로 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 코드의 순환성 개념을 CSS 구성 이외의 일반 양자 코드로 의미적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 CSS 유형이 아닌 양자 순환 코드의 구조적 특성과 매개변수 특성은 무엇인가?
• RQ3 길이 $4^m + 1$인 양자 정규화 코드에 대해 고전적 BCH 코드와 유사한 BCH 거리 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ4 BCH 오류 수정 한계 내에서 이러한 코드에 대한 다항식 시간 양자 디코딩 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 비정규화 양자 코드, 예를 들어 ((5,6,2)) 코드는 새로운 정의 하에 여전히 순환적인가?

주요 결과

• 논문은 CSS 유형이 아닌 새로운 [[17,1,7]] 양자 순환 코드를 구성하여 높은 거리의 새로운 코드를 나타낸다.
• CSS 프레임워크 외부에 있는 [[17,9,3]] 양자 순환 코드가 제시되어 이 구성의 일반성을 입증한다.
• 유명한 [[5,1,3]] Laflamme 코드는 제안된 양자 순환 코드 프레임워크의 특수한 경우로 복구된다.
• ((5,6,2)) 비정규화 코드가 새로운 정의 하에 순환임이 입증되어, 비정규화 순환 양자 코드의 첫 번째 알려진 예로 확립된다.
• 길이 $n = 4^m + 1$ 이고 BCH 거리 $d = 2t + 1$ 인 양자 정규화 코드에 대해, $t$ 개 이내의 오류를 수정할 수 있는 다항식 시간 양자 디코딩 알고리즘을 구성한다.
• 디코딩 알고리즘은 생성자 다항식 모듈로에서 오류 다항식 계수를 효율적으로 복구하기 위해 양자 단계 추정에 의존하며, 이후 오류 수정을 위해 Berlekamp 알고리즘을 적용한다.