[논문 리뷰] Quantum Davidson Algorithm for Excited States

Nikolay V. Tkachenko, Łukasz Cincio외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 Krylov 부분공간 방법의 새로운 형태인 양자 Davidson(QDavidson) 알고리즘을 소개한다. 이 알고리즘은 고유상태 잔차와 전처리기를 사용하여 반복적으로 Krylov 부분공간을 확장함으로써, 기초 상태 및 구배 상태 계산의 수렴 속도를 가속화한다. QLanczos와 같은 기존의 QKS 방법에 비해 더 빠른 수렴 속도와 얕은 회로를 달성하여 NISQ 시대의 양자 장치에 더 강건한 성능을 제공한다.

ABSTRACT

Excited state properties play a pivotal role in various chemical and physical phenomena, such as charge separation and light emission. However, the primary focus of most existing quantum algorithms has been the ground state, as seen in quantum phase estimation and the variational quantum eigensolver (VQE). Although VQE-type methods have been extended to explore excited states, these methods grapple with optimization challenges. In contrast, the quantum Krylov subspace (QKS) method has been introduced to address both ground and excited states, positioning itself as a cost-effective alternative to quantum phase estimation. Our research presents an economic QKS algorithm, which we term the quantum Davidson (QDavidson) algorithm. This innovation hinges on the iterative expansion of the Krylov subspace and the incorporation of a pre-conditioner within the Davidson framework. By using the residues of eigenstates to expand the Krylov subspace, we manage to formulate a compact subspace that aligns closely with the exact solutions. This iterative subspace expansion paves the way for a more rapid convergence in comparison to other QKS techniques, such as the quantum Lanczos. Using quantum simulators, we employ the novel QDavidson algorithm to delve into the excited state properties of various systems, spanning from the Heisenberg spin model to real molecules. Compared to the existing QKS methods, the QDavidson algorithm not only converges swiftly but also demands a significantly shallower circuit. This efficiency establishes the QDavidson method as a pragmatic tool for elucidating both ground and excited state properties on quantum computing platforms.

연구 동기 및 목표

• 전하 분離 및 빛 방출과 같은 과정에 핵심적인 역할을 하는 양자 다체계에서의 구배 상태를 효율적으로 계산하는 데 도전한다.
• 최적화 난이도와 높은 자원 소모로 인해 문제가 되는 기존의 양자 알고리즘—특히 VQE 유형의 방법—의 한계를 극복한다.
• 실제 또는 복소수 시간 진동을 통한 사전 생성된 부분공간에 의존하는 기존의 양자 Krylov 부분공간(QKS) 방법과 양자 위상 추정법에 대한 비용 효율적인 대안을 개발한다.
• 확장적이고 수치적으로 불안정한 부분공간을 피하여 NISQ 시대의 양자 계산에서 회로 깊이를 줄이고 수렴 속도를 향상시킨다.
• 반복적이고 잔차 기반의 부분공간 확장을 통해 낮은 에너지 수준의 구배 상태를 더 적은 양자 자원 요구량으로 실용적으로 계산할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 기존 QKS 방법과 비교해 기존에 계산된 고유상태의 잔차를 사용하여 반복적으로 Krylov 부분공간을 확장하는 새로운 양자 Krylov 부분공간(QKS) 알고리즘인 QDavidson를 제안한다.
• 수렴 속도와 안정성을 향상시키기 위해 Davidson 프레임워크 내부에 전처리기를 통합한다.
• 실제 또는 복소수 시간 진동을 통한 전통적인 부분공간 사전 생성 방식을 대체로, 동적이고 잔차 기반의 확장 메커니즘을 도입한다.
• evolving Krylov 부분공간 내에서 해밀토니안과 오버랩 행렬 원소를 측정하기 위해 양자 회로를 사용하며, 샷 노이즈는 정밀도 임계값으로 모델링한다.
• 잔차 벡터를 제어 가능한 연산자 풀을 사용해 유니터리로 매핑하며, 측정 비용은 부분공간 크기와 연산자 풀 크기에 비례하여 조정한다.
• 변분 원리와 반복적 정밀화를 활용하여 최소한의 회로 깊이로 정확한 에너지 고유값에 수렴한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QLanczos와 같은 기존 QKS 기법보다 더 빠르고 얕은 회로로 수렴하는 양자 Krylov 부분공간 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 시간 진동된 상태 대신 고유상태 잔차를 사용하면, 구배 상태 계산을 위한 더 컴act하고 정확한 Krylov 부분공간을 얻을 수 있는가?
• RQ3 QKS 프레임워크에 전처리기를 포함시키면 수렴 속도와 수치적 안정성이 어떻게 향상되는가?
• RQ4 NISQ 장치에서 통계적 노이즈에 대응하기 위해 필요한 양자 회로 샷 수와 정밀도 수준은 얼마인가?
• RQ5 QDavidson 알고리즘이 실제 분자 시스템인 C2H4에 대해 현실적인 노이즈 조건 하에서도 정확한 구배 상태 에너지를 재현할 수 있는가?

주요 결과

• C2H4 분자에 대해 하트리-폭 히어르치 기반 상태로 초기화한 경우 QDavidson 알고리즘은 단 한 번의 반복만으로도 수렴하였다.
• 정밀도 임계값 10−4를 사용하여 S0 및 S2 구배 상태 에너지를 각각 −77.115 ± 0.001 및 −76.375 ± 0.001로 재현하였다.
• 총 필요한 샷 수는 약 10^10로 추정되었으며, 각 회로 평가당 10^8 샷을 소요하여 현실적인 노이즈 조건 하에서도 실현 가능함을 입증하였다.
• 잔차 기반의 전처리된 부분공간 확장 덕분에 QDavidson는 QLanczos 및 기타 QKS 방법보다 상당히 더 빠른 수렴 속도를 보였다.
• 빠른 수렴으로 인해 회로 깊이가 얕게 유지되어 NISQ 장치에서 노이즈에 대한 내성을 높였다.
• 해밀토니안 행렬 원소에 무작위 노이즈가 가해져도 수치적 안정성이 유지되어 통계적 샷 노이즈에 대한 강건성을 확인하였다.