[논문 리뷰] Quantum deformed algebras : Coherent states and special functions

J. D. Bukweli-Kyemba, Mahouton Norbert Hounkonnou|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 63인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $q$- 및 $(p,q)$-변형을 통합하고 확장하는 일반화된 ${\cal R}(p,q)$-변형 하이젠베르크 대수를 도입하며, 이는 새로운 코herent 상태, 초함수 급수, 그리고 ${\cal R}(p,q)$-변형 로저스-슈에르-다항식 및 연속 헤르미트 다항식과 같은 특수 함수의 구성 가능하게 한다. 이 틀은 기존 결과를 일반화하며, 호프 대수 구조를 제공하고 비가환 설정에서 미분 및 적분 계산법을 확장한다.

ABSTRACT

The Heisenberg algebra is first deformed with the set of parameters ${q, l, λ}$ to generate a new family of generalized coherent states. In this framework, the matrix elements of relevant operators are exactly computed. A proof on sub-Poissonian character of the statistics of the main deformed states is provided. This property is used to determine a generalized metric. A unified method of calculating structure functions from commutation relations of deformed single-mode oscillator algebras is then presented. A natural approach to building coherent states associated to deformed algebras is deduced. Known deformed algebras are given as illustration. Futhermore, we generalize a class of two-parameter deformed Heisenberg algebras related to meromorphic functions, called ${\cal R}(p,q)$-deformed algebra. Relevant families of coherent states maps are probed and their corresponding hypergeometric series are computed. The latter generalizes known hypergeometric series and gives to a generalization of the binomial theorem. The involved notions of differentiation and integration generalize the usual $q$- and $(p,q)$-differentiation and integration. A Hopf algebra structure compatible with the ${\cal R}(p,q)$-algebra is deduced. We succeed in giving a new characterization of Rogers- Szegö polynomials, called ${\cal R}(p,q)$-deformed Rogers-Szegö polynomials, by their three-term recursion relations and the associated quantum algebra built with corresponding creation and annihilation operators. Continuous ${\cal R}(p,q)$-deformed Hermite polynomials and their recursion relation are also deduced. Novel algebraic relations are provided and discussed. The whole formalism is performed in a unified way, generalizing known relevant results which are straightforwardly derived as particular cases.

연구 동기 및 목표

• $\{q, l, \lambda\}$ 매개수를 사용하여 하이젠베르크 대수를 일반화하여 새로운 가족의 일반화된 코herent 상태를 구성하는 것.
• 단일 모드 진동자 대수의 교환관계로부터의 구조 함수 유도를 위한 통합된 방법을 개발하는 것.
• $\{p,q\}$-매개수에 관련된 두 매개수 변형 하이젠베르크 대수를 일반화하여 ${\cal R}(p,q)$-변형 특수 함수로 이어지는 것.
• $q$- 및 $(p,q)$-계산법을 호프 대수 성질과 호환되는 새로운 대수적 구조를 통해 비가환 프레임워크로 확장하는 것.
• ${\cal R}(p,q)$-변형 로저스-슈에르 및 헤르미트 다항식을 정의하고 완전히 특성화하는 것, 재귀 관계와 생성 함수 포함.

제안 방법

• $\{q, l, \lambda\}$ 매개수를 사용하여 표준 하이젠베르크 대수를 변형하여 클로더 기준을 만족하는 일반화된 코herent 상태를 생성하는 것.
• 관련 연산자의 행렬 원소를 유도하고 주요 변형 상태의 비포isson 분포를 증명하여 일반화된 척도의 정의를 가능하게 하는 것.
• 변형 진동자 대수의 교환관계로부터 직접 구조 함수를 결정하는 통합된 형식을 구축하는 것.
• ${\cal R}(p,q)$-변형 대수를 매력 함수와 연결된 두 매개수 변형 하이젠베르크 대수의 일반화로 도입하는 것.
• 새로운 초함수 급수와 ${\cal R}(p,q)$-이항정리 정의를 통해 기존 $(p,q)$-급수의 일반화를 이루는 것.
• $\partial_{p,q,h}^{\mu,\nu}$ 및 관련 연산자를 정의하여 비가환 미분 및 적분 계산법을 수립하고, 호환 가능한 호프 대수 구조를 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 매개수 $\{q, l, \lambda\}$ 를 사용하여 하이젠베르크 대수를 어떻게 변형하여 비포isson 분포를 보이는 일반화된 코herent 상태를 생성할 수 있는가?
• RQ2 변형된 단일 모드 진동자 대수의 교환관계로부터 구조 함수를 유도하는 일반적인 방법은 무엇인가?
• RQ3 ${\cal R}(p,q)$-변형 대수는 어떻게 구성되어 기존의 $q$- 및 $(p,q)$-변형을 통합하고 확장할 수 있는가?
• RQ4 새로가 정의된 ${\cal R}(p,q)$-변형 로저스-슈에르 및 헤르미트 다항식의 성질과 재귀 관계는 무엇인가?
• RQ5 ${\cal R}(p,q)$-대수 프레임워크 내에서 비가환 계산법(미분 및 적분 포함)을 어떻게 일반화할 수 있으며, 이와 호환되는 호프 대수 구조는 무엇인가?

주요 결과

• $\{q,l,\lambda\}$-변형 하이젠베르크 대수로부터 구성된 일반화된 코herent 상태는 비포isson 분포를 보이며, 비고전적 성질을 확인하고 시스템 기하학의 일반화된 척도 정의를 가능하게 한다.
• 변형 진동자 대수의 교환관계로부터 직접 구조 함수를 도출하는 통합된 방법이 확립되었으며, 이는 기존 결과를 일반화하고 코herent 상태의 체계적 구성 가능하게 한다.
• ${\cal R}(p,q)$-변형 초함수 급수는 도입되었고, 이는 기존 $(p,q)$-초함수 급수를 일반화하며, 특수한 경우로 ${\cal R}(p,q)$-이항정리가 도출된다.
• ${\cal R}(p,q)$-변형 로저스-슈에르 다항식은 세 항 재귀 관계와 차분 방정식을 포함하여 완전히 특성화되었으며, 표준 및 $q$-변형 형태를 일반화한다.
• 연속 ${\cal R}(p,q)$-변형 헤르미트 다항식은 $\mathbb{H}_n(\cos\theta; p,q,\mu,\nu,h)$를 통해 정의되었으며, $p$- 및 $q$-변형 매개수를 포함하는 세 항 재귀 관계를 만족한다.
• ${\cal R}(p,q)$-대수와 호환되는 호프 대수 구조가 명시적으로 구성되었으며, 이는 비가환 기하학 및 양자군 프레임워크로의 확장을 가능하게 한다.