[논문 리뷰] Quantum electrostatics, Gauss's law, and a product picture for quantum electrodynamics; or, the temporal gauge revised

Bernard S. Kay|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 16.

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한 줄 요약

이 논문은 정적인 전하 분포를 기술하는 전기적 위상 일관 상태에 대한 엄밀한 양자 기반을 수립하며, 이전의 4π 오류를 수정한 내적 공식을 유도하고, 해밀토니안이 물리적 부분공간에서 텐서곱 힐베르트 공간에 작용하는 양자전자역학(QED)의 새로운 곱셈 그림을 제안한다. 이 프레임워크는 장기간의 시간 게이지 양자화 문제를 해결하며, 동일한 총 전하를 가진 서로 다른 전하 분포 간의 비영인 내적을 가능하게 하는 것은 전하 물질과 종방향 광자 간의 얽힘에 기인함을 보여준다.

ABSTRACT

We provide a theoretical foundation for the notion of the quantum coherent state of the electrostatic field of a static external charge distribution introduced in a 1998 paper and rederive formulae there for the inner products of a pair of such states. Contrary to what one might expect, these inner products are non-zero whenever the total charges of the two charge distributions are equal, even if the charge distributions themselves differ. We actually display two different frameworks for these same coherent states, in the second of which Gauss's law only holds in expectation value. We propose an experiment capable of ruling that out. The first framework leads to a 'product picture' for full QED -- i.e. a reformulation of standard QED in which it has a total Hamiltonian, arising as a sum of a free electromagnetic Hamiltonian, a free charged-matter Hamiltonian and an interaction term, acting on a 'physical subspace' of the full tensor product of charged-matter and electromagnetic-field Hilbert spaces. (The traditional Coulomb gauge formulation of QED isn't a product picture because, in it, the longitudinal part of the electric field is a function of the charged matter operators.) We do this for both Maxwell-Dirac and Maxwell-Schr\"odinger QED. For all states in the physical subspace of each of these systems, the charged matter is entangled with longitudinal photons and Gauss's law holds on the physical subspace as an operator equation; albeit the electric field operator and the Hamiltonian, while self-adjoint on the physical subspace, fail to be self-adjoint on the full tensor-product Hilbert space. Analogues of our coherent state inner products and of the product picture play a role in the author's matter-gravity entanglement hypothesis. Also, the product picture amounts to a temporal gauge quantization of QED which appears to be free from the difficulties of previous versions.

연구 동기 및 목표

• 전기적 위상 일관 상태에 대한 엄밀한 이론적 기반을 제공하여, 이전 연구에서 발견된 내적 공식의 4π 오류를 수정한다.
• 서로 다른 전하 분포이지만 동일한 총 전하를 가진 위상 일관 상태가 비영인 내적을 가질 수 있다는 역설을 해결한다. 이는 직관적인 직교성 기대와 반대된다.
• 물리적 하위공간에서 해밀토니안이 자기수반이고 가우스의 법칙이 연산자 방정식으로 성립하는, 물질과 전자기장 부문의 텐서곱 힐베르트 공간으로 구성된 QED의 곱셈 그림을 구축한다.
• 두 가지 프레임워크를 구분한다: 하나는 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 경우(비자기수반 전기장), 다른 하나는 가우스의 법칙이 연산자 방정식으로 성립하는 경우(비자기수반 해밀토니안)이며, 이 중 첫 번째를 배제할 수 있는 실험을 제안한다.
• 디랙 장과 비상대론적 전하를 가진 구체의 시스템에 대해, 새로운 곱셈 그림이 쿨롱 게이지 QED와 등가임을 보이며, 물질과 종방향 광자 간의 얽힘이 명시적으로 드러남을 보여준다.

제안 방법

• 자유장 양자화를 수정하여 종방향 모드 구조를 포함한, 비동역학적 종방향 광자들의 포크 공간에서 전기적 위상 일관 상태를 구성한다.
• 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 프레임워크(비자기수반 전기장)와 가우스의 법칙이 연산자 방정식으로 성립하는 프레임워크(비자기수반 해밀토니안)의 두 가지 다른 접근 방식을 사용하여, 이러한 위상 일관 상태 간의 내적을 유도한다.
• 시간 게이지에서의 체계적 양자화를 통해 전체 해밀토니안을 자유 전자기장, 자유 물질, 상호작용 항의 합으로 정의하며, 이는 텐서곱 힐베르트 공간의 물리적 하위공간에 작용한다.
• 물리적 하위공간에서 전기장 연산자 −˜π는 자기수반이지만 전체 텐서곱 공간에서는 그렇지 않으며, 물리적 하위공간에서 가우스의 법칙이 연산자 방정식으로 성립함을 보여준다.
• 디랙 장과 비상대론적 전하를 가진 구체의 시스템에 대해, 상태와 연산자 간의 명시적 사상에 의해 곱셈 그림이 쿨롱 게이지 QED와 단위적으로 동치임을 보여준다.
• 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 프레임워크를 배제하기 위해, 위상 일관 상태의 초위상에서 전기장 연산자의 기대값을 측정하는 실험적 테스트를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 전하 분포이지만 동일한 총 전하를 가진 전기적 위상 일관 상태가 직관적인 직교성 기대와는 반대로 비영인 내적을 가지는 이유는 무엇인가?
• RQ2 물리적 하위공간에서 전체 해밀토니안이 자기수반이고 가우스의 법칙이 연산자 방정식으로 성립하는 QED의 곱셈 그림을 구성할 수 있는가?
• RQ3 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 프레임워크와 연산자 방정식으로 성립하는 프레임워크가 동일한 내적 공식을 도출하는 데 있어 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ4 곱셈 그림에서 전하 물질과 종방향 광자 간의 얽힘은 어떻게 나타나며, 쿨롱 게이지 표현과 어떻게 다를까?
• RQ5 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 프레임워크는 실험적으로 배제될 수 있는가? 그리고 이와 연산자 형태의 가우스의 법칙 프레임워크 사이에 관측 가능한 차이점은 무엇인가?

주요 결과

• 같은 총 전하를 가졌지만 서로 다른 전하 분포를 가진 전기적 위상 일관 상태 간의 내적은 일반적으로 비영이며, 이는 이전 연구에서 발견된 4π 오류를 수정한 공식에 의해 정확히 기술된다.
• 두 가지 서로 다른 이론적 프레임워크가 동일한 내적 공식을 도출한다: 하나는 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 경우(비자기수반 전기장), 다른 하나는 가우스의 법칙이 연산자 방정식으로 성립하는 경우(비자기수반 해밀토니안).
• 곱셈 그림에서 물리적 하위공간은 물질과 전자기장 힐베르트 공간의 텐서곱의 하위공간이며, 물리적 하위공간에서 전체 해밀토니안은 자기수반이다.
• 곱셈 그도에서 종방향 전기장은 부산물이 아니라, 양자 자유도로서 일관 상태로 기술되며, 이는 소멸 연산자의 고유상태이다.
• 디랙 장과 비상대론적 전하를 가진 구체의 시스템에 대해, 곱셈 그림은 쿨롱 게이지 QED와 단위적으로 동치이며, 물질과 종방향 광자 간의 얽힘이 명시적으로 드러난다.
• 가우스의 법칙이 기대값에서만 성립하는 프레임워크는 위상 일관 상태의 초위상에서 전기장 연산자의 기대값을 측정함으로써 실험적으로 배제될 수 있으며, 이는 연산자 형태의 프레임워크와 다른 예측을 내놓기 때문이다.