[논문 리뷰] Quantum entanglement without eigenvalue spectra:multipartite case

Hao Chen|ArXiv.org|2001. 09. 13.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 프로젝티브 공간에서의 고유벡터 기하구성에 기반하여, 다중편성 양자 혼합 상태에 대한 고유값에 의존하지 않는 대수적 집합 불변량을 제안한다. 이러한 불변량은 고유값에 의존하지 않는 새로운 분리 가능성 기준을 도출하며, 분리 가능한 상태는 선형 부분공간의 곱의 합이어야 한다는 것을 증명하고, 특히 LOCC-비비교 가능한 상태가 동일한 스펙트럼을 공유하는 삼편성 시스템에서 부분 추적 스펙트럼만으로는 얽힘을 완전히 특징지을 수 없다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We introduce algebriac sets in the products of complex projective spaces for multipartite mixed states, which are independent of their eigenvalues and only measure the "position" of their eigenvectors, as their non-local invariants (ie. remaining invariant after local untary transformations). These invariants are naturally arised from the physical consideration of checking multipartite mixed states by measuring them with multipartite separable pure states. The algebraic sets have to be the sum of linear subspaces if the multipartite mixed state is separable, and thus we give a new separability criterion of multipartite mixed states. A continuous family of 4-party mixed states, whose members are separable for any 2:2 cut and entangled for any 1:3 cut (thus bound entanglement if 4 parties are isolated), is constructed and studied from our invariants and separability criterion. Examples of LOCC-incomparable entangled tripartite pure states are given to show it is hopeless to characterize the entanglement properties of tripartite pure states by only using the eigenvalue speactra of their partial traces. We also prove that at least $n^2+n-1$ terms of separable pure states, which are "orthogonal" in some sence, are needed to write a generic pure state in $H_A^{n^2} \otimes H_B^{n^2} \otimes H_C^{n^2}$ as a linear combination of them.

연구 동기 및 목표

• 밀도 행렬의 고유값 스펙트럼이나 부분 추적 고유값 스펙트럼에 의존하지 않는 다중편성 혼합 상태를 위한 얽힘 불변량을 개발하는 것.
• 특히 혼합 상태와 이중편성 시스템을 초월한 순수 상태에 대한 다중편성 얽힘 이해의 격차를 메우는 것.
• 고유값이 아닌 고유벡터의 기하구성을 바탕으로 한 새로운 분리 가능성 기준을 구축하는 것.
• 다중편성 순수 상태의 얽힘 성질이 부분 추적 고유값 스펙트럼만으로는 포괄될 수 없음을 보여주는 것.
• 스모린 유형의 유한한 얽힘 상태를 일반화하고, 제안된 불변량을 통해 그 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 혼합 상태를 다중편성 분리 가능한 순수 상태로 측정함으로써 유도되는 헤르미트 이항형식의 분해 지점으로서 대수적 집합을 정의한다.
• 복소 프로젝티브 공간의 곱에서 국소 유니터리 변환에 대해 불변이면서 고유벡터의 '위치'에만 의존하는 불변량을 구성한다.
• 대수기하학을 활용하여 이러한 불변량의 구조를 특징지며, 차원, 기약 성분, 체적 및 곡률과 같은 미분기하학적 성질을 분석한다.
• 새로운 분리 가능성 기준을 증명한다: 다중편성 혼합 상태는 그 관련 대수적 집합이 선형 부분공간의 곱의 합이어야만 분리 가능하다.
• 이 기준을 적용하여 스모린의 구성 방식을 일반화한 4편성 유한한 얽힘 혼합 상태의 연속적 가족을 구성한다.
• 삼편성 순수 상태를 불변량을 통해 분석하여, 부분 추적 스펙트럼이 동일함에도 불구하고 LOCC-비비교 가능성이 유지되는 사례를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 밀도 행렬이나 그 부분 추적의 고유값 스펙트럼에 의존하지 않고 다중편성 얽힘을 특징지울 수 있는가?
• RQ2 국소 유니터리 변환에 대해 불변이면서 얽힘 측정으로서 활용될 수 있는 고유벡터의 기하학적 불변량은 무엇인가?
• RQ3 일부 삼편성 순수 상태는 부분 추적 스펙트럼이 동일함에도 불구하고 LOCC-비비교 가능성이 유지되는 이유는 무엇이며, 이를 대수적으로 어떻게 탐지할 수 있는가?
• RQ4 고유벡터 기반 불변량을 이용하여 연속적인 4편성 유한한 얽힘 혼합 상태의 가족을 구성하고 특징지울 수 있는가?
• RQ5 $H_{A}^{n^2} \otimes H_{B}^{n^2} \otimes H_{C}^{n^2}$에서 일반적인 삼편성 순수 상태를 분해하기 위해 필요한 수직인 분리 가능한 순수 상태의 수는 얼마인가?

주요 결과

• 고유값에 의존하지 않는 새로운 분리 가능성 기준이 확립되었다: 다중편성 혼합 상태는 그 관련 대수적 집합이 선형 부분공간의 곱의 합이어야만 분리 가능하다.
• 이 기준은 전체 연속적 가족의 얽힘 상태를 탐지할 수 있다. 동일한 고유벡터를 가지며 임의의 고유값을 가진 상태는 기준을 위반할 경우 항상 얽힘 상태이다.
• 스모린의 구성 방식을 일반화한 4편성 유한한 얽힘 혼합 상태의 연속적 가족이 구성되었으며, 모든 2:2 분할에서는 분리 가능하지만 모든 1:3 분할에서는 얽힘 상태이다.
• 모든 부분 추적 스펙트럼이 동일한 삼편성 순수 상태의 LOCC-비비교 가능성 사례가 구성되었으며, 이는 스펙트럼만으로는 다중편성 얽힘을 특징지울 수 없음을 증명한다.
• 일반적인 순수 상태 $H_{A}^{n^2} \otimes H_{B}^{n^2} \otimes H_{C}^{n^2}$에서 스미트 유사 분해의 각 $n^2$ 성분 중 적어도 하나는 스미트 랭크가 최소 $n$ 이상이어야 하며, 이는 이중편성 시스템과의 근본적 차이를 보여준다.
• 일반적인 순수 상태를 $H_{A}^{n^2} \otimes H_{B}^{n^2} \otimes H_{C}^{n^2}$에서 선형 조합으로 표현하기 위해 최소 $n^2 + n - 1$ 개의 수직인 분리 가능한 순수 상태가 필요하다는 것이 증명되었다.