[논문 리뷰] Quantum Error Correcting Subsystem Codes From Two Classical Linear Codes

Dave Bacon, Andrea Casaccino|ArXiv.org|2006. 10. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 27인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 고전적 선형 코드에서 유도된 새로운 양자 오류 수정 서브시스템 코드의 클래스를 제안하며, 일반화된 쇼어 코드에 비해 오류 복구에 필요한 안정자 측정 수를 크게 줄이고 있다. 연결된 양자 코드를 서브시스템 코드로 재해석함으로써, 동일한 오류 수정 거리와 함께 측정 오버헤드를 최대 제곱근 수준으로 감소시켜 더 효율적인 고장 내성 양자 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The essential insight of quantum error correction was that quantum information can be protected by suitably encoding this quantum information across multiple independently erred quantum systems. Recently it was realized that, since the most general method for encoding quantum information is to encode it into a subsystem, there exists a novel form of quantum error correction beyond the traditional quantum error correcting subspace codes. These new quantum error correcting subsystem codes differ from subspace codes in that their quantum correcting routines can be considerably simpler than related subspace codes. Here we present a class of quantum error correcting subsystem codes constructed from two classical linear codes. These codes are the subsystem versions of the quantum error correcting subspace codes which are generalizations of Shor's original quantum error correcting subspace codes. For every Shor-type code, the codes we present give a considerable savings in the number of stabilizer measurements needed in their error recovery routines.

연구 동기 및 목표

• 기존의 부분공간 코드에 비해 오류 복구 루틴의 복잡도를 줄이는 새로운 양자 오류 수정 서브시스템 코드의 클래스를 개발하는 것.
• 두 개의 고전적 선형 코드를 사용하여 쇼어 유형의 양자 코드를 서브시스템 코드로 일반화함으로써 오류 수정 과정을 단순화하는 것.
• 일반화된 쇼어 코드와 동일한 양자 오류 수정 거리를 확보하면서도, 필요한 안정자 측정 수를 최소화하는 것.
• 오류 복구 과정에서 안정자 측정의 자원 오버헤드를 줄임으로써 더 효율적인 고장 내성 양자 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 기존 쇼어 방식의 연결 방식이 아닌, $\mathbb{F}_2$ 위에서 두 개의 고전적 선형 코드 $\mathcal{C}_1$ 및 $\mathcal{C}_2$ 를 조합하여 양자 서브시스템 코드를 구성하는 것.
• 논리 큐비트가 서브시스템에 인코딩되는 안정자 코드로 서브시스템 코드를 정의함으로써 더 유연한 오류 수정 루틴을 허용하는 것.
• $\mathcal{C}_1$ 및 $\mathcal{C}_2$ 의 생성행렬을 사용하여 유도된 양자 코드의 안정자 생성자를 정의하며, 필요한 안정자 측정 수를 $(n_1 - k_1)k_2 + k_1(n_2 - k_2)$ 로 줄이는 것.
• 서브시스템 구조를 활용하여 오류 복구에 기여하지 않는 중복된 안정자 측정을 제거함으로써, 특히 코드의 거리를 향상시키지 않는 안정자를 제거하는 것.
• 예를 들어 재현성 코드, 해밍 코드 등의 알려진 고전적 코드를 적용하여 측정 복잡도가 최적화된 구체적인 양자 서브시스템 코드를 생성하는 것.
• 유도된 코드가 일반화된 쇼어 코드와 동일한 거리 $\min(d_1, d_2)$ 를 가지며, 동일한 오류 보호 능력을 보장하는 것을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 쇼어 코드와 동일한 오류 수정 능력을 가지면서도 더 적은 안정자 측정 수를 요구하는 서브시스템 코드를 두 개의 고전적 선형 코드로부터 구성할 수 있는가?
• RQ2 동일한 고전적 코드를 사용할 경우, 서브시스템 코드의 오류 복구에 대한 측정 복잡도는 부분공간 코드에 비해 어떻게 다른가?
• RQ3 연결된 양자 코드를 서브시스템 코드로 재해석함으로써 얻을 수 있는 안정자 측정 수의 최대 감소율은 얼마인가?
• RQ4 제안된 구성 방식이 오류 복구 복잡도를 줄임으로써 고장 내성 양자 계산의 임계값을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 재현성 코드와 해밍 코드와 같은 구체적인 예제의 경우, 특정 파라미터와 측정 절감 효과는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 서브시스템 코드는 일반화된 쇼어 코드와 동일한 파라미터 $[[n_1n_2, k_1k_2, \min(d_1, d_2)]]$ 를 확보하여 동일한 오류 보호 능력을 보장한다.
• 오류 복구에 필요한 안정자 측정 수는 일반화된 쇼어 코드의 $(n_1 - k_1)n_2 + (n_2 - k_2)$ 에서 서브시스템 구성의 $(n_1 - k_1)k_2 + k_1(n_2 - k_2)$ 로 감소하여 측정 오버헤드가 제곱근 수준으로 감소한다.
• 재현성 코드의 $[[n^2, 1, n]]$ 예제에서는 서브시스템 버전이 일반화된 쇼어 코드의 $n^2 - 1$ 대비 오직 $2(n-1)$ 개의 안정자 측정만 필요로 하며, 총 $n^2 - 2n + 1$ 개의 측정을 절감한다.
• 두 개의 $[7,4,3]$ 해밍 코드를 사용한 $[[49,1,5]]$ 코드 예제에서는 서브시스템 구성이 연결된 스테인 코드의 48개에 비해 오직 28~30개의 안정자 측정만 필요로 하며, 18~20개의 측정을 줄였다.
• 이 구성은 이전의 자기수정 양자 메모리 연구를 일반화하며, 고전적 코드에서 효율적인 서브시스템 코드를 체계적으로 구축하는 프레임워크를 제공한다.
• 결과적으로 이러한 서브시스템 코드는 오류 복구 루틴의 복잡도를 줄임으로써 고장 내성 양자 계산의 임계값을 크게 향상시킬 수 있음을 시사한다.