[논문 리뷰] Quantum factorization of 56153 with only 4 qubits

Nikesh S. Dattani, Nathaniel Bryans|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 2012년 NMR 양자 인수 분해 실험에서 143 외에도 56153을 4 큐비트만으로 사전에 인수를 알지 못한 채로도 실제로 분해했음을 보여주며, 인수 분해 문제를 4 큐비트 하미르토니안을 통해 기본 상태 최소화 문제로 매핑함으로써 이를 달성했다. 또한 3 큐비트를 사용해 삼소수인 175를 인수 분해하는 데 성공하여, 비반소수 수에 대해 하이퍼상호작용이 하미르토니안에 나타나며, 두 개 이상의 소수 인수를 가진 복합수를 인수 분해할 때 양자 우위가 가능해지는 길을 제시한다.

ABSTRACT

The largest number factored on a quantum device reported until now was 143. That quantum computation, which used only 4 qubits at 300K, actually also factored much larger numbers such as 3599, 11663, and 56153, without the awareness of the authors of that work. Furthermore, unlike the implementations of Shor's algorithm performed thus far, these 4-qubit factorizations do not need to use prior knowledge of the answer. However, because they only use 4 qubits, these factorizations can also be performed trivially on classical computers. We discover a class of numbers for which the power of quantum information actually comes into play. We then demonstrate a 3-qubit factorization of 175, which would be the first quantum factorization of a triprime.

연구 동기 및 목표

• 2012년 NMR 실험에서 143 외에도 56153과 같은 더 큰 수를 사전에 인수를 알지 못한 채로도 4 큐비트만으로 인수 분해했음을 입증한다.
• 두 개 이상의 소수 인수를 가진 수를 다룰 때 양자 계산의 인수 분해 능력이 발현되며, 이는 고차원 큐비트 상호작용이 필요하다는 것을 보여준다.
• 이산 최소화를 통해 인수 분해 제약 조건을 인코딩한 하미르토니안을 사용하는 양자 인수 분해 기법을 개발한다. 이는 반소수와 삼소수 모두에 적용 가능하다.
• 3 큐비트 시스템이 삼소수 175를 성공적으로 인수 분해할 수 있으며, 이 경우 3체 상호작용이 필수적임을 보여주며, 반소수의 경우 2체 상호작용만으로도 충분하다는 점을 강조한다.
• 양자 우위가 큰 반소수를 인수 분해할 때가 아니라, 두 개 이상의 소수 인수를 가진 복합수를 인수 분해할 때 실현 가능해지는 프레임워크를 구축한다.

제안 방법

• 승수 표를 이진 방정정식과 반올림 변수를 포함하는 식으로 표현함으로써 인수 분해 문제를 이산 최적화 문제로 변환한다.
• 인수 분해 문제의 해는 이진 승수 방정정식의 잔차 제곱의 합으로 구성된 하미르토니안의 기저 상태에 인코딩된다.
• 143의 경우 식 (7)–(9)로부터 유도된 하미르토니안은 4 큐비트 시스템으로 단순화되며, (p₁+q₁−1)² + (p₂+q₂−1)² + (p₂q₁+p₁q₂−1)²을 최소화한다.
• 175의 경우 식 (37)–(38)로부터 3 큐비트 하미르토니안을 구성하였으며, (p₁+q₁+r₁−1)² + (p₁q₁+q₁r₁+p₁r₁)²를 최소화함으로써 삼소수 175의 인수 분해를 인코딩한다.
• 하미르토니안의 기저 상태는 인수 분해 문제의 고전적 해에 대응하며, 고유값은 유효한 인수 쌍을 나타낸다.
• 쇼어 알고리즘을 피하고, 수렴 가능한 양자 어드아바틱 최적화를 통해 하미르토니안 최소화를 사용함으로써, 다수의 소수 인수를 가진 수에 적용 가능한 방법을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2012년 NMR 실험에서 143을 인수 분해한 것이 실제로 56153과 같은 더 큰 수를 사전에 인수를 알지 못한 채로도 분해했는가?
• RQ2 삼소수인 175를 양자 최적화 접근법으로 인수 분해하기 위해 필요한 최소 큐비트 수는 얼마인가?
• RQ3 인수 분해할 숫자의 소수 인수 개수에 따라 필요한 큐비트 상호작용(2체 vs. 3체)은 어떻게 변화하는가?
• RQ4 이와 유사한 하미르토니안 최소화 기법을 두 개 이상의 소수 인수를 가진 수에 일반화할 수 있는가? 이는 확장 가능한 양자 아키텍처에 적용 가능한가?
• RQ5 하미르토니안에서 고차원 상호작용을 사용할 경우, 고전적 방법에 비해 진정으로 양자 계산이 우위를 보이는가?

주요 결과

• 2012년 NMR 실험은 사전에 해를 알지 못함에도 불구하고 56153을 4 큐비트만으로 인수 분해했다.
• 56153의 인수 분해는 이진 승수 방정정식의 잔차 제곱 합을 최소화하는 4 큐비트 하미르토니안을 통해 달성되었으며, 기저 상태가 올바른 인수를 인코딩하고 있다.
• 3 큐비트 시스템은 삼소수 175를 성공적으로 인수 분해했으며, 기저 상태는 175 = 5 × 5 × 7의 인수 분해에 대응하여 비반소수 수의 가능성은 입증되었다.
• 175의 하미르토니안은 전개된 형태에서 6p₁q₁r₁ 항을 포함하고 있어 3체 상호작용이 존재함을 확인하며, 두 개 이상의 소수 인수를 가진 수에 대해 이러한 상호작용이 필수적임을 증명한다.
• 175 하미르토니안의 기저 상태는 세 개의 degenerate 해를 포함한다: (p₁,q₁,r₁) = (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), 이는 175의 세 가지 서로 다른 인수 분해에 대응한다.
• 이 방법은 양자 우위가 큰 반소수를 인수 분해할 때가 아니라, 두 개 이상의 소수 인수를 가진 수에서 발생할 수 있음을 보여주며, 이는 고전적 알고리즘이 더 어려워지는 영역이다.