[논문 리뷰] Quantum Fidelities, Their Duals, And Convex Analysis

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 볼록 최적화를 통해 세 가지 양자 편의도—울만의 편의도, f(x) = -√x인 음의 f-분산, 그리고 역방향 테스트를 통한 새로운 편의도—를 도입하고 분석한다. 이들의 이중형식(극형태)을 정의하고, 단조성과 볼록성, 이중성의 성질을 증명하며, 고전적 편의도와의 연결을 위해 CPTP 및 단조적 완전 양성 지도를 통한 최적화를 수행한다. 큐비트 경우의 명시적 공식은 관측 가능도의 역함수에 의존함을 보여준다.

ABSTRACT

We study tree kinds of quantum fidelity. Usual Uhlmann's fidelity, minus of f-divergence when $f(x)=-\sqrt{x}$, and the one introduced by the author via reverse test. All of them are quantum extensions of classical fidelity, where the first one is the largest and the third one is the smallest. We characterize them in terms of convex optimization, and introduce their 'dual' quantity, or the polar of the minus of the fidelity. They turned out to be monotone increasing by unital completely positive maps, concave, and linked to its classical version via optimization about classical-to-quantum maps and quantum-to-classical maps.

연구 동기 및 목표

• 세 가지 양자 편의도—울만의, f-분산 기반의, 역방향 테스트 기반의—를 볼록 분석을 통해 특성화하기.
• 이 편의도들의 이중형식(극형태)을 정의하고 분석하기.
• 단조적 완전 양성 지도 하에서의 단조성과 볼록성 확립하기.
• 고전적-양자 및 양자-고전적 지도에 대한 최적화를 통해 양자 편의도와 고전적 편의도를 연결하기.
• 큐비트 경우에서 최대 및 최소 편의도의 명시적 공식을 유도하여 관측 가능도에 대한 역함수 의존성을 보여주기.

제안 방법

• 세 편의도와 그 이중형식을 볼록 최적화를 통해 특성화한다.
• 마이너스 편의도의 이중형식을 편의도의 극형태로 정의하고, 단조적 완전 양성 지도 하에서 증가함을 보인다.
• 단조적 완전 양성 지도를 적용하여 측정 및 준비 지도를 통해 양자 편의도와 고전적 편의도를 연결한다.
• 트레이스 및 스펙트럼 성질을 사용하여 큐비트 경우의 최대 및 최소 편의도에 대한 명시적 표현을 유도한다.
• 비가역 연산자를 다루기 위해 편평화 연산과 일반화된 역행렬을 적용한다.
• POVM 및 CPTP 지도의 구조를 활용하여 양자-고전 및 고전-양자 변환을 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 가지 양자 편의도—울만의, f-분산 기반의, 역방향 테스트 기반의—는 상호 간에 어떻게 관련되어 있으며, 고전적 편의도와 어떻게 관련되는가?
• RQ2 마이너스 편의도의 이중형식(극형태)은 무엇이며, 단조적 완전 양성 지도 하에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 양자 편의도는 고전적-양자 및 양자-고전적 지도에 대한 최적화를 통해 어떻게 고전적 편의도와 연결되는가?
• RQ4 특정 트레이스 및 노름 제약 조건 하에서 큐비트 상태에 대한 최대 및 최소 편의도의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ5 두 쌍의 큐비트 연산자 사이에 CP 단조적 지도가 보장적으로 존재하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 만일 $ \mathrm{tr}\,L_0^2 = \mathrm{tr}\,L_1^2 = \mathrm{tr}\,(L_0')^2 = \mathrm{tr}\,(L_1')^2 $ 이고 $ \|L_0 - L_1\| $ 가 고정되어 있을 경우, 최대 편의도 $ F_{\text{max}}(L_0, L_1) $ 와 최소 편의도 $ F_{\text{min}}(L_0, L_1) $ 는 $ \mathrm{tr}\,L_0L_1 $ 에 대해 감소 함수이다.
• 큐비트 상태에서 $ L_0 = I_2 + a\sigma_x + b\sigma_z $, $ L_1 = I_2 + a\sigma_x - b\sigma_z $ 를 만족할 경우, 최소 편의도는 $ r^2 \geq |a| $ 이면 $ \hat{F}_{\min}(L_0, L_1) = 2\sqrt{(1 - r^2)(1 - a^2/r^2)} $ 이고, 그렇지 않으면 $ 2(1 - |a|) $ 이다.
• 최대 편의도 $ \hat{F}_{\max}(L_0, L_1) $ 는 $ L_0 $ 와 $ L_1 $ 의 트레이스 및 행렬식을 포함하는 닫힌 형태의 표현식으로 주어지며, 구체적으로 $ \frac{2(1 - r^2)^2}{\mathrm{tr}\,L_0L_1 + \sqrt{(\mathrm{tr}\,L_0L_1)^2 - 4(1 - r^2)^2}} $ 이다.
• 이중 편의도 $ \hat{F}_{\max} $ 와 $ \hat{F}_{\min} $ 는 단조적 완전 양성 지도 하에서 단조 증가함을 보이고, 원래의 편의도는 이러한 지도 하에서 단조 감소함을 보인다.
• 만일 $ \mathrm{rank}(L_0) = 1 $ 이거나 $ \mathrm{rank}(L_1) = 1 $ 이면, 두 쌍의 연산자 사이에 CP 단조적 지도가 존재하려면 타겟 쌍에도 적어도 하나의 랭크-1 연산자가 있어야 한다.
• 같은 트레이스 노름을 가진 큐비트 시스템에서, $ (L_0, L_1) $ 과 $ (L_0', L_1') $ 사이에 CP 단조적 지도가 존재하는 것은 $ \mathrm{tr}\,L_0L_1 = \mathrm{tr}\,L_0'L_1' $ 이며, 이는 유니타리 동치를 의미한다.