[논문 리뷰] Quantum Field Theories and Prime Numbers Spectrum

Gabriel Menezes, N. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 22.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 제타 함수 정규화를 사용하여 이러한 시스템의 수학적 일관성을 평가함으로써 양자장론이 소수로 구성된 에너지 스펙트럼을 가질 수 있는지 조사한다. 이 논문은 Re(s) ≤ 0으로의 해석적 계속이 불가능하므로 소수 스펙트럼을 가진 자유 스칼라 양자장은 수학적으로 정의되지 않으며, 따라서 표준 양자장론 프레임워크 내에서 구성될 수 없다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

The Riemann hypothesis states that all nontrivial zeros of the zeta function lie on the critical line $\Re(s)=1/2$. Hilbert and Pólya suggested a possible approach to prove it, based on spectral theory. Within this context, some authors formulated the question: is there a quantum mechanical system related to the sequence of prime numbers? In this Letter we show that such a sequence is not zeta regularizable. Therefore, there are no physical systems described by self-adjoint operators with countably infinite number of degrees of freedom with spectra given by the sequence of primes numbers.

연구 동기 및 목표

• 소수의 순서로 주어진 해밀토니안 스펙트럼을 가진 양자장론이 존재할 수 있는지 결정하는 것.
• 기능적 적분 방법과 제타 함수 정규화를 사용하여 그러한 이론의 수학적 일관성을 평가하는 것.
• 소수 제타 함수가 양자장론에서 잘 정의된 생성 함수 또는 효과적 작용을 허용하는지 조사하는 것.
• 자유장 및 약간의 상호작용이 있는 장으로의 분석을 확장하여 고스핀 및 스피너 장을 포함하는 것.
• 제로점 에너지 합에 소수가 포함될 경우 진공 에너지와 카시미르 에너지에 미치는 영향을 검토하는 것.

제안 방법

• 유클리드 경로 적분 방법을 사용하여 소수 스펙트럼을 가진 가설적 양자장론을 수식화하는 것.
• 소수 제타 함수 P(s) = ∑_p p^(-s)에 제타 함수 정규화를 적용하는 것. 여기서 p는 소수를 뜻한다.
• P(s)의 해석적 계속을 분석하고, 비자명한 제타 함수 근에 기인한 허수축의 근처에 집중된 임의의 극의 존재를 확인하는 것.
• Re(s) > 0에 대해 P'(s) = ∑_k μ(k) ζ'(ks)/ζ(ks)의 스펙트럼 제타 함수 도함수를 유도하는 것.
• 유한성을 시험하기 위해 기능적 적분 생성 함수 W[0] = (1/2)ln(μ²P(s))|_{s=0} + (1/2)P'(s)|_{s=0}을 평가하는 것.
• 제타 정규화와 截단 방법 사이의 등가성을 사용하여 s=0에서의 해석적 계속 부재가 진공 에너지를 정의할 수 없게 한다는 것을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 수준이 소수의 순서에 정확히 해당하는 자유 스칼라 양자장론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 소수 제타 함수 P(s)는 s=0에서 제타 함수 정규화에 적합한가? 이는 기능적 적분을 정의하기 위한 필수 조건이다.
• RQ3 P(s)의 해석적 구조는 유한하고 잘 정의된 1반복 효과적 작용 또는 진공 에너지를 허용하는가?
• RQ4 소수 스펙트럼에 대해 제타 정규화가 실패하는 것은 상호작용이 있거나 고스핀 양자장론으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 스펙트럼이 소수로 주어질 경우 카시미르 에너지와 트레이스 이상에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 소수 제타 함수 P(s)는 0 < Re(s) ≤ 1의 스트립에서만 해석적 계속이 가능하며, Re(s) ≤ 0으로는 계속될 수 없다.
• 소수 스펙트럼을 가진 자유 스칼라 장에 대한 기능적 적분 생성 함수 W[0]는 s=0으로의 P(s)의 연장 불가능성으로 인해 정의되지 않는다.
• s=0에서의 해석적 계속 부재는 제타 함수 방법을 통한 1반복 효과적 작용과 진공 에너지의 재정규화가 불가능하다는 것을 의미한다.
• 유사한 정규화 실패로 인해 이는 약간의 상호작용이 있는 이론, 고스핀 장(예: 스피너)까지도 동일하게 적용된다.
• 진공 에너지 ∑p(소수의 합)는 제타 정규화를 사용하여 유한하게 만들 수 없으며, 이는 표준 재정규화 절차를 무효화한다.
• 이러한 이론을 정의할 수 없는 것은 기술적 제약이 아니라 소수 제타 함수의 해석적 구조에 기인한 근본적인 장애 때문이다.