[논문 리뷰] Quantum Field Theory, Feynman and Wheeler Propagators and Dimensional Regularization in Configuration Space

A. Plastino, M. C. Rocca|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 22.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 루프론-불린-지아미아지의 차원 정규화를 민코프스키 공간 내 모든 로렌츠 불변 온도 분포에 일반화한다. 영역에 제로 디바이저를 가진 링 ${\cal S}^{'}_{LA}$를 통해 역 푸리에 변환을 이용한 컨볼루션 기반 곱셈을 도입함으로써, 질량이 없는 파인만 및 웨일러 전파함수의 일致한 계산이 가능해지며, 이는 이전 결과를 유클리드 공간 외의 상대론적 양자장 이론 맥락으로 확장한다.

ABSTRACT

The Dimensional Regularization of Bollini and Giambiags (Phys. Lett. {\bf B 40}, 566 (1972), Il Nuovo Cim. {\bf B 12}, 20 (1972). Phys. Rev. {\bf D 53}, 5761 (1996)) can not be defined for all Schwartz Tempered Distributions Explicitly Lorentz Invariant (STDELI) ${\cal S}^{'}_L$. In this paper we overcome here such limitation and show that it can be generalized to all aforementioned STDELI and obtain a product in a ring with zero divisors. For this purpose, we resort to a formula obtained in [Int. J. of Theor. Phys. {\bf 43}, 1019 (2004)] and demonstrate the existence of the convolution (in Minkowskian space) of such distributions. This is done by following a procedure similar to that used so as to define a general convolution between the Ultradistributions of J. Sebastiao e Silva [Math. Ann. {\bf 136}, 38 (1958)], also known as Ultrahyperfunctions, obtained by Bollini et al. [Int. J. of Theor. Phys. {\bf 38}, 2315 (1999), {\bf 43}, 1019 (2004), {\bf 43}, 59 (2004),{\bf 46}, 3030 (2007)]. Using the Inverse Fourier Transform we get the ring with zero divisors ${\cal S}^{'}_{LA}$, defined as ${\cal S}^{'}_{LA}={\cal F}^{-1}\{{\cal S}^{'}_L\}$, where ${\cal F}^{-1}$ denotes the Inverse Fourier Transform. In this manner we effect a dimensional regularization in momentum space (the ring ${\cal S}^{'}_{L}$) via convolution, and a product of distributions in the corresponding configuration space (the ring ${\cal S}^{'}_{LA})$. This generalizes the results obtained by Bollini and Giambiagi for Euclidean space in [Phys. Rev. {\bf D 53}, 5761 (1996)]. We provide several examples of the application of our new results in Quantum Field Theory. In particular, the convolution of $n$ massless Feynman propagators and the convolution of n massless Wheeler propagators in Minkowskian space.

연구 동기 및 목표

• 볼리니와 지아미아지의 차원 정규화가 모든 명시적 로렌츠 불변 온도 분포(STDELI)에 적용되지 못하는 한계를 극복하기 위해.
• 민코프스키 공간 내 STDELI에 대해 일致한 컨볼루션 연산을 정의하여, 유클리드 영역 외부의 양자장론 양상의 정규화를 가능하게 하기 위해.
• 로렌츠 불변 분포의 역 푸리에 변환을 통해 영역에 제로 디바이저를 가진 링 ${\cal S}^{'}_{LA}$를 구성하여, 구성 공간에서 분포의 곱을 가능하게 하기 위해.
• 이전의 유클리드 공간에서의 차원 정규화 결과를 민코프스키 시공간으로 일반화하여, 특히 질량이 없는 전파함수에 대해 적용 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• [Int. J. Theor. Phys. 43, 1019 (2004)]에서 유도된 컨볼루션 공식을 사용하여 민코프스키 공간 내 STDELI의 컨볼루션을 정의한다.
• 볼리니 등이 체계화한 유라파라함수(우르타라파라함수) 이론의 기법(지오르지오 세바스티او 에 시우라의 초분포 이론)을 활용하여 특이 분포를 다룬다.
• ${\cal S}^{'}_{LA} = {\cal F}^{-1}\{{\cal S}^{'}_L\}$로 링을 정의하며, 여기서 ${\cal S}^{'}_L$은 STDELI의 공간으로, 구성 공간에서 분포의 곱을 가능하게 한다.
• 모멘텀 공간에서의 차원 정규화(${\cal S}^{'}_L$를 통한)를 수행하고 결과를 역 푸리에 변환을 통해 구성 공간으로 매핑한다.
• 영역에 제로 디바이저를 허용하는 프레임워크를 수립하여, 대수적 구조를 유지하면서도 특이한 양자장론 분포를 수용한다.
• 이 방법을 사용하여 민코프스키 시공간 내 $n$개의 질량이 없는 파인만 및 웨일러 전파함수의 컨볼루션을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전 수식의 범위를 넘어서 민코프스키 공간 내 모든 명시적 로렌츠 불변 온도 분포에 대해 차원 정규화를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 표준 볼리니-지아미아지 방법으로는 정규화가 불가능한 분포에 대해 일치하는 컨볼루션을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 질량이 없는 전파함수를 포함한 양자장론 양상의 정규화를 가능하게 하는 구성 공간 내 곱 공간의 구조는 무엇인가?
• RQ4 역 푸리에 변환을 통해 모멘텀 공간에서의 정규화를 구성 공간으로 매핑하면서도 로렌츠 불변성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 파인만 및 웨일러 전파함수를 동일한 방식으로 다룰 수 있는가, 특히 질량이 없는 경우에 대해 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 논문은 초분포 이론에 유사한 방법을 사용하여 민코프스키 공간 내 STDELI의 컨볼루션 존재성을 확립한다.
• 로렌츠 불변 분포의 역 푸리에 변환을 통해 영역에 제로 디바이저를 가진 새로운 링 ${\cal S}^{'}_{LA}$가 구성되며, 이는 구성 공간에서 분포의 곱을 가능하게 한다.
• 이 방법은 볼리니와 지아미아지의 차원 정규화를 유클리드 공간에서 민코프스키 시공간으로 일반화하여, 모든 STDELI를 포함한다.
• 민코프스키 공간 내 $n$개의 질량이 없는 파인만 전파함수의 컨볼루션은 새로운 프레임워크 내에서 엄밀히 정의되고 계산 가능하다.
• 민코프스키 공간 내 $n$개의 질량이 없는 웨일러 전파함수의 컨볼루션 역시 일관되게 정의되며, 차원 정규화의 적용 범위가 고급 전파함수 유형으로 확장된다.
• 이 프레임워크는 실시공간 내 특이하고 질량이 없는 전파함수를 포함한 양자장론 양상에 대해 일관되고 로렌츠 불변인 정규화 절차를 제공한다.