[논문 리뷰] Quantum field theory without divergence: the method of the interaction operators

Bruno Galvan|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 13.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비대칭 연산자 $\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$를 대칭화하여 상호작용 연산자를 정의함으로써, 표준적 접근 방식에서 흔히 발생하는 발산을 피하면서도 초월한 유한한 양자장이론을 구축하는 새로운 방법을 제안한다. 이 방법은 상호작용 연산자와 자유 해밀토니안이 공통된 조밀한 정의역을 가지게 하여, 물리적으로 의미 있는 수학적으로 일관된 자기수반 총 해밀토니안을 정의함으로써 자외선 발산이 없는 결과를 이룬다.

ABSTRACT

The recently proposed interior boundary conditions approach [S. Teufel and R. Tumulka: Avoiding Ultraviolet Divergence by Means of Interior Boundary Conditions, arXiv:1506.00497] is a method for defining Hamiltonians without UV divergence for quantum field theories. In this approach the interactions between sectors of the Fock space with different number of particles (inter-sector interactions) are obtained by extending the domain of the free Hamiltonian to include functions with singularities. In this paper a similar but alternative strategy is proposed, in which the inter-sector interactions are implemented by specific interaction operators. In its simplest form, an interaction operator is obtained by symmetrizing the asymmetric operator $\|\hat{ extbf{x}} \|^{-1} Δ\|\hat { extbf{x}}\|^{-1}$. The inter-sector interactions derive from the singularities generated by the factors $\|\hat{ extbf{x}}\|^{-1}$ enclosing the Laplacian, while the domain of the interaction operator does not include singular functions. As a consequence the interaction operators and the free Hamiltonian have a common dense domain, and they can be added together to form the complete Hamiltonian with interaction.

연구 동기 및 목표

• 자외선 유한한 양자장이론을 구축하기 위한 내부 경계 조건(Implicit Boundary Condition, IBC) 접근 방식의 수학적으로 일관된 대안을 개발하는 것.
• 생성 연산자가 균형 잃고 특이한 상호작용이 존재할 경우 발생하는 양자장이론의 자외선 발산 문제를 해결하는 것.
• 특이한 함수를 정의역에 포함하지 않는 대칭 상호작용 연산자를 통해 서로 다른 입자 수를 가진 포크 공간 섹터 간의 상호작용을 정의하는 것.
• 상호작용 연산자와 자유 해밀토니안이 공통된 조밀한 정의역을 공유하도록 하여 그 합이 잘 정의된 총 해밀토니안을 형성할 수 있도록 하는 것.
• 연산자 대칭화와 섹터 간 결합을 기반으로 한 새로운 체계를 통해 물리적으로 의미 있는 발산 없는 양자장이론의 기초를 다지는 것.

제안 방법

• 핵심 방법은 형태가 $\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$인 비대칭 연산자를 대칭화하여 특이한 함수를 포함하지 않는 정의역을 가진 대칭 상호작용 연산자를 구성하는 것이다.
• 상호작용 연산자는 원점에서 멀리 떨어져 있는 곳에서 매끄럽고 컴act 지지 집합을 가진 파동함수의 조밀한 정의역에서 정의된다.
• 다른 입자 수를 가진 포크 공간 섹터 간의 전이를 이러한 대칭 상호작용 연산자를 통해 구현하며, 이 연산자는 자기수반성을 유지하도록 구성된다.
• 방사형 투영 연산자 $R$를 사용하여 s-파동 성분을 분리함으로써 라플라스 연산자를 단순화하여 방사형 두 번째 도함수 $\partial_r^2/r^2$로 표현하며, 이는 특이 행동을 포착한다.
• 대칭화 절차는 공식 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$를 통해 섹터 간 경계 조건을 도입하며, 이는 서로 다른 섹터 간 전이 진폭을 암시한다.
• 다체계에서는 다수의 입자를 포함하는 상호작용으로 일반화되며, 입자 방출/흡수를 기술하는 연산자 $B_{hk}$와 쌍 생성/소멸을 기술하는 연산자 $C_{hk}$를 정의하고, 대칭화된 라플라스 항을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 경계 조건(Implicit Boundary Condition, IBC) 접근 방식에 의존하지 않으면서도 자기수반성과 unitarity를 유지하면서 자외선 유한한 양자장이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 특이한 함수를 정의역에 포함하지 않는 대칭 연산자를 사용하여 서로 다른 입자 수를 가진 포크 공간 섹터 간의 상호작용을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 특이해 보이는 연산자 $\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$를 대칭화하면 자유 해밀토니안과 공통된 조밀한 정의역을 가지며 잘 정의된 자기수반 총 해밀토니안를 도출할 수 있는가?
• RQ4 이러한 상호작용 연산자가 생성하는 섹터 간 전이 진폭의 구조는 어떻게 되며, 방출/흡수 및 쌍 생성과 같은 물리적 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 수학적으로 일관되며 실질적인 양자장이론에 대해 물리적으로 의미 있는가?

주요 결과

• 상호작용 연산자 $\Lambda = \|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}\Delta\|\hat{\mathbf{x}}\|^{-1}$는 자연스러운 정의역에서 대칭적이지 않지만, 그 대칭화된 형태인 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$는 비영인 섹터 간 전이 진폭을 생성한다.
• 대칭화된 공식 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{\Lambda} | \psi \rangle$는 경계 항을 유도하며, 이는 $\phi'_{00}(0)\psi_{00}(0) - \phi_{00}(0)\psi'_{00}(0)$에 비례하며, 이는 섹터 간 결합을 암시한다.
• 페르미온, 반페르미온, 보손의 세 종류의 입자를 포함하는 시스템에서, 이 방법은 보손의 방출/흡수 및 전자-양전자 쌍 생성/소멸을 기술하는 상호작용 연산자를 정의한다.
• 쌍 생성을 위한 섹터 간 전이 진폭은 대칭화된 라플라스 항 $\langle \phi_h | \stackrel{\leftrightarrow}{\Delta} | \psi_k \rangle_x(y)$로부터 유도되며, 이는 $4\pi \frac{\phi^*(y,\mathbf{y}_k)\psi(y,\mathbf{y}_k) - \phi^*(y,\mathbf{y}_h)\psi(y,\mathbf{y}_h)}{\|\mathbf{y}_h - \mathbf{y}_k\|}$로 평가된다.
• 총 섹터 간 공식 $\langle \phi | \stackrel{\leftrightarrow}{V_{hk}^1} | \psi \rangle$는 반대칭성으로 인해 0이 되며, 이는 다체 일반화에서의 일관성을 보장한다.
• 이 방법은 상호작용 연산자와 자유 해밀토니안이 공통된 조밀한 정의역을 공유하도록 하여, 그 합이 자외선 발산 없이 자기수반 총 해밀토니안을 형성할 수 있음을 보장한다.