[논문 리뷰] Quantum Fields on Causal Sets

Steven Johnston|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 26.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 78인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 인과 집합에서 스칼라 장에 대한 파동함수의 경로 적분 모델을 사용하여, 파동함수의 경로 적분 모델을 사용하여 인과 집합의 고전적 프로파게이터에 해당하는 프로파게이터를 구성함으로써, 인과 집합 기반의 이산 양자 장 이론을 제안한다. 이는 1+1 및 3+1 차원에서 연속체 클라인-고르곤 프로파게이터와 일치함을 보여주며, 이로써 이산 인과 집합 역학과 연속체 양자 장 이론 간의 일관성을 입증한다.

ABSTRACT

Causal set theory provides a model of discrete spacetime in which spacetime events are represented by elements of a causal set---a locally finite, partially ordered set in which the partial order represents the causal relationships between events. The work presented here describes a model for matter on a causal set, specifically a theory of quantum scalar fields on a causal set spacetime background. The work starts with a discrete path integral model for particles on a causal set. Here quantum mechanical amplitudes are assigned to trajectories within the causal set. By summing these over all trajectories between two spacetime events we obtain a causal set particle propagator. With a suitable choice of amplitudes this is shown to agree (in an appropriate sense) with the retarded propagator for the Klein-Gordon equation in Minkowski spacetime. This causal set propagator is then used to define a causal set analogue of the Pauli-Jordan function that appears in continuum quantum field theories. A quantum scalar field is then modelled by an algebra of operators which satisfy three simple conditions (including a bosonic commutation rule). Defining time-ordering through a linear extension of the causal set these field operators are used to define a causal set Feynman propagator. Evidence is presented which shows agreement (in a suitable sense) between the causal set Feynman propagator and the continuum Feynman propagator for the Klein-Gordon equation in Minkowski spacetime. The Feynman propagator is obtained using the eigendecomposition of the Pauli-Jordan function, a method which can also be applied in continuum-based theories. The free field theory is extended to include interacting scalar fields. This leads to a suggestion for a non-perturbative S-matrix on a causal set. Models for continuum-based phenomenology and spin-half particles on a causal set are also presented.

연구 동기 및 목표

• 인과 집합 시공간 배경에서 인과적 구조와 이산 시공간 대칭성을 유지하는 양자 스칼라 장의 일관된 모델을 개발한다.
• 인과 집합의 프로파게이터에 해당하는 프로파게이터를 구성함으로써, 이산 인과 집합 이론과 연속체 양자 장 이론을 연결한다.
• 상호작용 장으로의 프레임워크 확장을 위해 인과 집합에서 비양자적 S-행렬 공식을 제안한다.
• 고유분해 및 경로 적분 방법을 통해, 민코프스키 시공간에서 이산 및 연속체 프로파게이터 간의 정량적 일치를 확립한다.

제안 방법

• 인과 집합 내의 인과 체인(경로)에 양자역학적 진폭을 할당하여 이산 경로 적분 모델을 구성한다.
• 두 사건 사이의 모든 인과 체인에 대한 합을 통해 인과 집합 입자 프로파게이터를 정의하며, 진폭은 민코프스키 시공간에서 후행 프로파게이터를 재현하도록 선택한다.
• 이산 d’Alembertian 연산자의 고유분해를 통해 인과 집합의 파울리-조르단 함수의 이산 대응을 구성한다.
• 인과 집합 부분 순서의 선형 확장에 의해 정의된 보스 통계 관계와 시간 순서를 만족하는 장 연산자를 정의한다.
• 연속체 방법과 유사하게 파울리-조르단 함수의 고유분해를 사용하여 인과 집합의 파인만 프로파게이터를 유도한다.
• 자기 상호작용 스칼라 장으로의 자유 이론 확장을 양자역학적 다이슨 급수를 사용하고, U-연산자를 통한 비양자적 S-행렬 연산자를 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인과 집합에서 경로 적분 모델을 구성함으로써 민코프스키 시공간에서 클라인-고르곤 방정정식의 후행 프로파게이터를 재현할 수 있는가?
• RQ2 이산 연산자를 사용하여 인과 집합에서 파울리-조르단 함수와 파인만 프로파게이터를 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 인과 집합의 파인만 프로파게이터가 1+1 및 3+1 차원에서 연속체 파인만 프로파게이터로 수렴하는 정도는 어떠한가?
• RQ4 연산자 이론적 방법을 사용하여 인과 집합에서 비양자적 S-행렬을 공식화할 수 있는가?
• RQ5 무한 밀도 극한에서 인과 집합의 d’Alembertian과 연속체 d’Alembertian 간의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 적절한 진폭을 가진 인과 체인에 대한 합을 통해 유도된 인과 집합 입자 프로파게이터는 1+1 및 3+1 차원 민코프스키 시공간에서 클라인-고르곤 방정식의 후행 프로파게이터를 재현한다.
• 1+1 차원에서 인과 집합의 파인만 프로파게이터는 방정식 $\left(\Box + 2\rho(1 + \rho \frac{\partial}{\partial \rho}) \right)P_n = 2\rho P_{n-1}$ 를 만족하며, 연속체 근사와 일치함을 보인다.
• 3+1 차원에서 인과 집합 d’Alembertian 연산자가 후행 프로파게이터에 작용하면 $\Box^2 P = 8\pi \delta - 8\pi \rho \frac{1}{6}(2H+1)(2H+2)(2H+3)P$ 를 얻으며, 벤이나사와 다우커의 결과와 일관됨을 보여준다.
• 경로의 기대 수를 위한 생성 함수 $P_T(z)$ 는 $\rho$, $z$, 및 d’Alembertian 을 포함하는 편미분 방정식을 만족하며, 이는 경로 통계를 계산하는 길을 제공한다.
• 무한 밀도 극한($\rho \to \infty$)에서 인과 집합의 파인만 프로파게이터는 연속체 파인만 프로파게이터로 수렴하며, $\lim_{\rho \to \infty} \Box K_R = \delta$ 를 통해 이를 입증한다.
• 놀랍게도 본 연구와 벤이나사 및 다우커(2010)의 결과 간 일관성이 발견되었으며, $\Box^2 K_R = \bar{B}$ 를 만족한다. 여기서 $\bar{B}$ 는 인과 집합 d’Alembertian 커널이며, 이는 연속체 근사에서 상호 호환성을 확인한다.