[논문 리뷰] Quantum Fisher kernel for mitigating the vanishing similarity issue

Yudai Suzuki, Hideaki Kawaguchi외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반대칭 로그 도함수(anti-symmetric logarithmic derivatives, ALD)를 교차 레이어 앤사즈(Alternating Layered Ansatz, ALA)에서 활용함으로써, 큐비트 수가 증가할수록 급격히 감소하는 유사도 문제(즉, 퍼지니티 기반 양자 커널이 분류 성능을 상실하는 문제)를 완화하는 새로운 양자 커널 방법인 양자 피셔 커널(QFK)을 제안한다. ALDQFK는 퍼지니티 기반 커널과 유사한 높은 표현 능력을 유지하면서도 커널 값의 지수 감소를 방지하여 양자 기계학습에서 실용적인 양자 우월성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum kernel method is a machine learning model exploiting quantum computers to calculate the quantum kernels (QKs) that measure the similarity between data. Despite the potential quantum advantage of the method, the commonly used fidelity-based QK suffers from a detrimental issue, which we call the vanishing similarity issue; detecting the difference between data becomes hard with the increase of the number of qubits, due to the exponential decrease of the expectation and the variance of the QK. This implies the need to design QKs alternative to the fidelity-based one. In this work, we propose a new class of QKs called the quantum Fisher kernels (QFKs) that take into account the geometric structure of the data source. We analytically and numerically demonstrate that the QFK based on the anti-symmetric logarithmic derivatives (ALDQFK) can avoid the issue when the alternating layered ansatzs (ALAs) are used, while the fidelity-based QK cannot even with the ALAs. Moreover, the Fourier analysis numerically elucidates that the ALDQFK can have expressivity comparable to that of the fidelity-based QK. These results indicate that the QFK paves the way for practical applications of quantum machine learning with possible quantum advantages.

연구 동기 및 목표

• 퍼지니티 기반 양자 커널에서 큐비트 수가 증가함에 따라 커널 값이 지수적으로 감소하는 '유사도 감소 문제'를 해결함으로써 양자 우월성을 뒷받침한다.
• 데이터 소스의 기하학적 구조를 반영한 양자 커널 설계를 통해 안정성과 일반화 능력을 향상시킨다.
• 클래식 피셔 커널의 양자 확장으로서 양자 피셔 커널(QFK)을 제안하여 데이터의 구조를 커널 계산에 통합한다.
• 교차 레이어 앤사즈(ALA)를 사용한 ALDQFK가 퍼지니티 기반 커널이 실패하는 상황에서 유사도 감소 문제를 피할 수 있음을 입증한다.
• 푸리에 분석과 분류 벤치마크를 통해 ALDQFK가 퍼지니티 기반 커널과 유사한 표현 능력을 유지함을 확인한다.

제안 방법

• 클래식 피셔 커널의 양자 확장으로서 양자 피셔 정보 행렬을 사용하여 데이터 구조를 인코딩하는 양자 피셔 커널(QFK)을 도입한다.
• 밀도 행렬 ρx,θ의 반대칭 로그 도함수(anti-symmetric logarithmic derivatives, ALD)를 사용하여 ALDQFK를 정의한다. 이는 Tr[ρx,θ B ρx',θ B]로 표현되며, 여기서 B = ∂ρx,θ/∂θ 이다.
• 파arameterized 양자 회로의 구조적 안정성을 확보하기 위해 ALDQFK를 교차 레이어 앤사즈(Alternating Layered Ansatz, ALA)로 구현한다.
• QK를 주파수 성분으로 분해하기 위해 푸리에 분석을 적용하여 ALDQFK와 퍼지니티 기반 QK 간의 표현 능력 비교를 가능하게 한다.
• 분류 성능 평가 및 커널 표현 능력 검증을 위해 인위적 1차원 데이터셋을 사용한 서포트 벡터 머신(SVC)을 적용한다.
• 푸리에 주파수 집합을 {−12,…,12}로 잘라내고, 곡선 피팅 알고리즘을 사용하여 QK를 그들의 푸리에 표현식에 맞추어 정량적 비교를 수행한다.

Figure 1: Summary of this work. (a) The vanishing similarity issue for the fidelity-based QK, where the expectation and the variance of the QK decrease exponentially as the number of qubits is increased. Hence, estimating each entry of the Gram matrix on a real quantum device requires an exponential

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 소스 기하학적 구조를 반영한 양자 커널 설계가 고차원 힐베르트 공간에서의 유사도 감소 문제를 피할 수 있는가?
• RQ2 퍼지니티 기반 커널에서의 지수 감소를 피하면서도 ALDQFK는 ALA와 함께 퍼지니티 기반 양자 커널과 유사한 표현 능력을 유지하는가?
• RQ3 ALDQFK의 푸리에 스펙트럼은 주파수 성분과 진폭 측면에서 퍼지니티 기반 QK와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 비어 있지 않은 주파수 성분이 필요한 인위적 데이터셋에서 ALDQFK는 낮은 오분류율을 달성할 수 있는가?
• RQ5 ALDQFK의 구조는 로슈미트 에코 또는 시간 순서가 뒤집힌 상관관계와 같은 알려진 양자 동역학적 양들과 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• ALA를 사용한 ALDQFK는 큐비트 수가 증가함에 따라 커널 값의 기대값과 분산이 지수적으로 감소하지 않아, 퍼지니티 기반 QK와 달리 유사도 감소 문제를 피한다.
• ALDQFK는 퍼지니티 기반 QK와 거의 동일한 진폭과 주파수를 가지는 푸리에 계수를 나타내어 유사한 표현 능력을 가짐을 시사한다.
• 인위적 사인 기반 데이터셋에서의 분류 작업 결과, ALDQFK는 낮은 오분류율을 기록하며, 성능은 푸리에 계수 cω,−ω의 진폭과 강하게 상관관계가 있다.
• 주파수 w=12인 데이터셋에서 ALDQFK는 비영인 cω,−ω 성분을 유지하지만, 퍼지니티 기반 QK는 커널 값의 감소로 인해 거의 영인 진폭을 보인다.
• ALDQFK의 구조 Tr[ρx,θ B ρx',θ B]는 로슈미트 에코 및 시간 순서가 뒤집힌 상관관계와 같은 양자 동역학적 측정값과 등장하는 것으로 나타나, 양자 혼돈과 정보 스캐러밍과의 깊은 연결 고리를 시사한다.
• ALDQFK는 안정적인 커널 값과 일반화 성능을 유지함으로써 대규모 양자 시스템에서도 실용적인 양자 우월성을 가능하게 한다.

Figure 2: The expectation and the variance of the QK in Eq. ( 1 ), where each element of input data $\bm{x}$ and parameters in PQC $\bm{\theta}$ is randomly chosen from the range $[-\pi,\pi)$ . The tensor-product and the IQP-type quantum circuits with depth $L=2$ are used as $U(\bm{x},\bm{\theta})$