[논문 리뷰] Quantum geometry of moduli spaces of local systems and representation theory

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 23.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 19인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 꾸며진 표면의 G-로컬 시스템의 모듈 공간 위에 클러스터 Poisson 및 K2 구조를 구성하고, 이들의 ΓG,S-대칭 양자화를 입증하며, 표현 이론적 및 이중성 응용을 도출한다.

ABSTRACT

Let G be a split semi-simple adjoint group, and S a colored decorated surface, given by an oriented surface with punctures, special boundary points, and a specified collection of boundary intervals. We introduce a moduli space P(G,S) parametrizing G-local system on S with some boundary data, and prove that it carries a cluster Poisson structure, equivariant under the action of the cluster modular group M(G,S), containing the mapping class group of S, the group of outer automorphisms of G, and the product of Weyl / braid groups over punctures / boundary components. We prove that the dual moduli space A(G,S) carries a M(G,S)-equivariant cluster structure, and the pair (A(G,S), P(G,S)) is a cluster ensemble. These results generalize the works of V. Fock & the first author, and of I. Le. We quantize cluster Poisson varieties X for any Planck constant h s.t. h>0 or |h|=1. First, we define a *-algebra structure on the Langlands modular double A(h; X) of the algebra of functions on X. We construct a principal series of representations of the *-algebra A(h; X), equivariant under a unitary projective representation of the cluster modular group M(X). This extends works of V. Fock and the first author when h>0. Combining this, we get a M(G,S)-equivariant quantization of the moduli space P(G,S), given by the *-algebra A(h; P(G,S)) and its principal series representations. We construct realizations of the principal series *-representations. In particular, when S is punctured disc with two special points, we get a principal series *-representations of the Langlands modular double of the quantum group Uq(g). We conjecture that there is a nondegenerate pairing between the local system of coinvariants of oscillatory representations of the W-algebra and the one provided by the projective representation of the mapping class group of S.

연구 동기 및 목표

• G-로컬 시스템의 모듈 공간을 클러스터 구조와 고차 Teichmüller 이론과 연결하여 연구의 동기를 부여한다.
• PG,S와 AG′,S를 각각 클러스터 Poisson 구조와 클러스터 K2 구조로 정의하고 연구한다.
• PG,S의 ΓG,S-대칭 양자화를 개발하고 이를 Langlands 이중성에 관련시킨다.
• Donaldson–Thomas 변환, 이중성 가설, 그리고 함수대수의 정규 기저에 대한 응용을 보여준다.

제안 방법

• PG,S 모듈 공간에 고유한 ΓG,S-대칭 클러스터 Poisson 구조를 도입하고 배치한다.
• 쌍대 모듈 공간 AG′,S가 ΓG,S-대칭 클러스터 K2 구조를 가지며 PG,S와 함께 클러스터 어레인먼트를 이룬다는 것을 보인다.
• PG,S를 양자화하여 Langlands 모듈러 더블 Aℏ(PG,S)와 그 주된 계열 표현의 ΓG,S-대칭 ∗-표현을 얻는다.
• DT-변환이 클러스터 변환임을 보이고 클러스터 구조를 이용해 이를 명시적으로 계산한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 양자군의 주된 계열 표현을 회복하고 O(PG,S)에서 정규 선형 기저를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할된 준단순 여사(adjoint) G에 대해 PG,S 및 그 쌍대 AG′,S에 어떤 클러스터 구조가 존재하는가?
• RQ2 ΓG,S 대칭이 이들 클러스터 구조와 양자화에 어떻게 작용하는가?
• RQ3 PG,S를 양자화하여 Langlands 이중 데이터에 대응하는 ΓG,S-대칭 ∗-표현을 얻을 수 있는가?
• RQ4 이 구조들이 DT-변환, 이중성 가설, 그리고 O(PG,S)의 정규 기저에 대해 어떤 함의를 가지는가?
• RQ5 이 구성들이 고차 Teichmüller 이론, conformal blocks, 그리고 양자군 표현과 어떻게 연결되는가?

주요 결과

• PG,S는 고유한 ΓG,S-대칭 클러스터 Poisson 구조를 가진다.
• AG′,S는 ΓG,S-대칭 클러스터 K2 구조를 가지며 PG,S와 함께 클러스터 어레인먼트를 이룬다.
• Aℏ(PG,S)는 주된 계열 ∗-표현을 통한 ΓG,S-대칭 양자화를 제공한다.
• PG,S의 Donaldson–Thomas 변환은 클러스터 Poisson 변환이며 명시적으로 계산된다.
• O(PG,S)에서 정규 선형 기저가 구성되며 AG∨,S의 tropical 점들로 매개되고, 이 프레임워크에서 이중성 가설이 확정된다.
• 응용으로는 양자군의 주된 계열 표현과 Langlands 이중성 및 모듈러 함수자와의 연결이 포함된다.