[논문 리뷰] Quantum harmonic oscillators and Feynman-Kac path integrals for linear diffusive particles

Pierre Del Moral, Emma Horton|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 28.

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한 줄 요약

이 논문은 선형 확산 입자를 갖는 다차원 양자 조화 진동자에 대해 연속시간 대수 Riccati 행렬 방정식을 사용하여 기본 상태와 영점 에너지를 명시적으로 해석적으로 구하는 해법을 제시한다. 시간에 따라 변하는 선형 시스템과 Riccati 방정식을 통해 정확한 Feynman-Kac 경로 적분 해를 유도하며, Wasserstein 거리와 상대 엔트로피 거리에 대한 비점근적 지수 감쇠 추정을 수립하고, 가역적인 경우의 전체 스펙트럼 특성(-excited states 포함)과 함수 불등식을 포함한 완전한 스펙트럼 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We propose a new solvable class of multidimensional quantum harmonic oscillators for a linear diffusive particle and a quadratic energy absorbing well associated with a semi-definite positive matrix force. Under natural and easily checked controllability conditions, the ground state and the zero-point energy are explicitly computed in terms of a positive fixed point of a continuous time algebraic Riccati matrix equation. We also present an explicit solution of normalized and time dependent Feynman-Kac measures in terms of a time varying linear dynamical system coupled with a differential Riccati matrix equation. A refined non asymptotic analysis of the stability of these models is developed based on a recently developed Floquet-type representation of time varying exponential semigroups of Riccati matrices. We provide explicit and non asymptotic estimates of the exponential decays to equilibrium of Feynman-Kac semigroups in terms of Wasserstein distances or Boltzmann-relative entropy. For reversible models we develop a series of functional inequalities including de Bruijn identity, Fisher's information decays, log-Sobolev inequalities, and entropy contraction estimates. In this context, we also provide a complete and explicit description of all the spectrum and the excited states of the Hamiltonian, yielding what seems to be the first result of this type for this class of models. We illustrate these formulae with the traditional harmonic oscillator associated with real time Brownian particles and Mehler's formula. The analysis developed in this article can also be extended to solve time dependent Schrodinger equations equipped with time varying linear diffusions and quadratic potential functions.

연구 동기 및 목표

• 선형 확산 입자를 갖는 이차 잠재 에너지와 함께 다차원 양자 조화 진동자의 해석 가능한 클래스를 개발하기 위해.
• 연속시간 대수 Riccati 행렬 방정식의 양의 고정점에 의해 기본 상태와 영점 에너지를 명시적으로 계산하기 위해.
• 시간에 따라 변하는 선형 동역학 시스템과 미분 Riccati 방정식에 결합된 시간에 따라 변하는 선형 시스템을 통해 정확한 시간 의존 Feynman-Kac 측도를 도출하기 위해.
• Wasserstein 및 Boltzmann-상대 엔트로피 거리 측도에서 Feynman-Kac 반군에 대한 비점근적 지수 감쇠 추정을 수립하기 위해.
• 모든 Excited 상태를 포함한 해밀토니안의 완전한 스펙트럼 기술을 제공하고, 가역적인 경우에 로그-소볼레프 및 파인카레 불등식과 같은 함수 불등식을 증명하기 위해.

제안 방법

• 해밀토니안 연산자 H = -L + V 를 정의하며, 여기서 L 은 드리프트 A 와 분산 R 을 갖는 선형 확산의 생성자이고, V 는 행렬 S 를 갖는 이차 잠재 에너지이다.
• 운동 에너지의 국소화 해소를 보장하기 위해 (A, R^{1/2}) 과 (A^T, S^{1/2}) 에 대한 제어 가능성 조건을 도입한다.
• Riccati 행렬 방정식의 Floquet 유형 분해를 기반으로 하는 시간에 따라 변하는 지수 반군 표현을 사용한다.
• 조건부 기대값 E[X_t | X_0] 과 시간에 따라 V(X_u) 를 흡수하는 경로 적분 공식을 통해 Feynman-Kac 전파자 K_t 를 도출한다.
• 시간 비균일 문제를 시간 균일 스펙트럼 문제로 변환하기 위해 Υ_h 를 통한 등장 변환을 적용한다.
• Riccati 행렬 방정식을 사용하여 불변 측도와 관련 반군의 시간 진화를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 확산 입자를 갖는 양자 조화 진동자의 기본 상태와 영점 에너지를 명시적으로 계산할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 선형 확산 입자를 갖는 이차 잠재 에너지를 가진 입자에 대해 시간 의존 Feynman-Kac 측도는 폐쇄형으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 Wasserstein 및 상대 엔트로피 거리 측도에서 Feynman-Kac 반군의 비점근적 지수 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ4 이 모델 클래스에 대해 해밀토니안 연산자의 전체 스펙트럼 분해(모든 Excited 상태 포함)는 무엇인가?
• RQ5 가역적인 경우에 대해 불변 측도에 대해 성립하는 함수 불등식(예: 로그-소볼레프, 파인카레)은 무엇이며, 이는 동역학과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 기본 상태와 영점 에너지는 연속시간 대수 Riccati 방정식의 양의 고정점으로 명시적으로 계산된다.
• 시간 의존 Feynman-Kac 측도는 시간에 따라 변하는 선형 시스템과 미분 Riccati 행렬 방정식을 통해 해결되며, 폐쇄형 경로 적분 해를 도출한다.
• Wasserstein 거리 및 상대 엔트로피 거리에 대한 비점근적 지수 감쇠 속도가 유도되었으며, 스펙트럼 갭과 행렬 노름에 대한 명시적 상한이 포함되어 있다.
• 가역적인 경우, Riccati 행렬 시스템의 고유값을 통해 전체 해밀토니안 스펙트럼(모든 Excited 상태 포함)이 특성화된다.
• de Bruijn의 항등식, 피셔 정보 감쇠, 로그-소볼레프 불등식과 같은 함수 불등식이 명시적인 시간 의존 상한과 함께 증명된다.
• 본 논문은 이들 비정규, 비대칭, 비가역 양자 조화 진동자에 대해 스펙트럼과 Excited 상태에 대한 최초의 완전하고 명시적인 기술을 제공한다.