[논문 리뷰] Quantum homeopathy works: Efficient unitary designs with a system-size independent number of non-Clifford gates

Jonas Haferkamp, Felipe Montealegre‐Mora외 4명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 다항식 깊이의 무작위 클리포드 회로에 이러한 게이트를 주입함으로써, 시스템 크기와 무관하게 오직 $O(t^{4} an ^{2}(t) an(1/\varepsilon))$개의 비클리포드 게이트만을 사용하여 효율적인 근사 유니터리 $t$-디자인을 구성할 수 있음을 보여준다. 주요 결과는 비클리포드 게이트의 밀도가 渐진적으로 0에 수렴할 수 있으며, 이는 자원 소모가 최소화된 채로 고차수 $t$-디자인을 확장 가능하게 한다.

ABSTRACT

Many quantum information protocols require the implementation of random unitaries. Because it takes exponential resources to produce Haar-random unitaries drawn from the full $n$-qubit group, one often resorts to $t$-designs. Unitary $t$-designs mimic the Haar-measure up to $t$-th moments. It is known that Clifford operations can implement at most $3$-designs. In this work, we quantify the non-Clifford resources required to break this barrier. We find that it suffices to inject $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1/\varepsilon))$ many non-Clifford gates into a polynomial-depth random Clifford circuit to obtain an $\varepsilon$-approximate $t$-design. Strikingly, the number of non-Clifford gates required is independent of the system size -- asymptotically, the density of non-Clifford gates is allowed to tend to zero. We also derive novel bounds on the convergence time of random Clifford circuits to the $t$-th moment of the uniform distribution on the Clifford group. Our proofs exploit a recently developed variant of Schur-Weyl duality for the Clifford group, as well as bounds on restricted spectral gaps of averaging operators.

연구 동기 및 목표

• 클리포드 그룹의 $3$-디자인 한계를 초월하여 근사 $t$-디자인을 구성하기 위해 필요한 최소 비클리포드 게이트 수를 규명하는 것.
• 양자 정보 프로토콜을 위한 고차수 유니터리 $t$-디자인을 구현하는 데 있어 확장성 문제를 해결하는 것.
• 필요한 비클리포드 게이트 수가 시스템 크기와 독립적임을 입증하여 渐진적으로 희박한 자원 사용이 가능함을 보장하는 것.
• 무작위 클리포드 회로가 클리포드 군 분포의 $t$-번째 모멘트에 수렴하는 데 걸리는 시간의 엄밀한 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 클리포드 군에 특화된 최신 변형의 슈어-웨일 이중성 이론을 활용하여 모멘트 매칭 성질을 분석하는 것.
• 평균 연산자의 제한된 스펙트럼 간격에 대한 경계를 사용하여 무작위 클리포드 회로의 수렴 속도를 정량화하는 것.
• 다항식 깊이의 클리포드 회로에 $O(t^{4}\tan ^{2}(t)\tan(1\varepsilon))$개의 비클리포드 게이트를 주입하는 영향을 분석하는 것.
• 이러한 구성이 시스템 크기가 증가함에 따라에도 불구하고 $\varepsilon$-근사 $t$-디자인을 생성함을 증명하는 것.
• 대표 이론적 도구를 적용하여 클리포드 회로가 대칭 부분공간에 작용하는 방식을 특성화하는 것.
• 비클리포드 게이트 수가 큼직한 큐비트 수에 영향을 받지 않고 $t$와 $\varepsilon$에만 의존함을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 클리포드 군의 $3$-디자인 한계를 초월하여 $\varepsilon$-근사 $t$-디자인을 달성하기 위해 필요한 최소 비클리포드 게이트 수는 얼마인가?
• RQ2 고차수 $t$-디자인을 달성하면서도 비클리포드 게이트 수를 시스템 크기와 독립적으로 유지할 수 있는가?
• RQ3 무작위 클리포드 회로가 클리포드 군에 대한 균일 분포의 $t$-번째 모멘트에 수렴하는 데 걸리는 시간은 얼마나 되는가?
• RQ4 평균 연산자의 스펙트럼 간격은 클리포드 회로가 $t$-디자인으로 수렴하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 클리포드 군에 대해 슈어-웨일 이중성을 어떻게 변형하여 양자 회로의 모멘트 매칭을 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 에르고스티크 $t$-디자인을 구성하기 위해 필요한 비클리포드 게이트 수는 $O(t^{4}\tan ^{2}(t)\tan(1/\varepsilon))$이며, 이는 시스템 크기와 무관하다.
• 이는 비클리포드 게이트의 밀도가 시스템 크기가 증가함에 따라 渐진적으로 0에 수렴할 수 있음을 의미하며, 이는 확장 가능한 구현을 가능하게 한다.
• 무작위 클리포드 회로가 클리포드 군 분포의 $t$-번째 모멘트에 수렴하는 데 걸리는 시간은 해당 평균 연산자의 스펙트럼 간격에 의해 제한된다.
• 클리포드 군에 대한 정교한 슈어-웨일 이중성의 적용은 양자 회로에서의 모멘트 매칭을 정밀하게 특성화할 수 있게 한다.
• 완전한 하어 랜덤니스 없이도 $t$와 $\varepsilon$에 대해 다항 로그 수준의 자원 오버헤드로 고차수 $t$-디자인을 달성할 수 있다.
• 이러한 결과는 '양자 허브리즘'이라는 새로운 패러다임을 수립하였으며, 최소한의 비클리포드 자원으로 최대의 디자인 성능을 달성할 수 있다.