[논문 리뷰] Quantum-inspired low-rank stochastic regression with logarithmic dependence on the dimension

András Gilyén, Seth Lloyd외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 2인용 수 60

한 줄 요약

저자들은 길이 제곱 샘플링(length-square sampling)을 사용하여 Ax=b의 저랭크 선형 시스템의 의사역역(inv) 솔루션을 근사하는 고전적이면서 양자에서 영감을 받은 알고리즘을 개발하고, 적절한 데이터 접근 가정하에 차원에 대해 다항로그(polylogarithmic) 의존성을 달성한다.

ABSTRACT

We construct an efficient classical analogue of the quantum matrix inversion algorithm (HHL) for low-rank matrices. Inspired by recent work of Tang, assuming length-square sampling access to input data, we implement the pseudoinverse of a low-rank matrix and sample from the solution to the problem $Ax=b$ using fast sampling techniques. We implement the pseudo-inverse by finding an approximate singular value decomposition of $A$ via subsampling, then inverting the singular values. In principle, the approach can also be used to apply any desired "smooth" function to the singular values. Since many quantum algorithms can be expressed as a singular value transformation problem, our result suggests that more low-rank quantum algorithms can be effectively "dequantised" into classical length-square sampling algorithms.

연구 동기 및 목표

• A가 rank k<<m,n인 경우의 양자 매트릭스 역행 문제의 고전적 아날로그를 제시하여 저랭크 양자 알고리즘의 디퀀타이제이션을 동기 부여한다.
• A의 SVD를 부분 샘플링을 통해 근사하고 특이값을 역하여 A^+ 및 샘플 가능한 해 x를 얻는 방법을 제시한다.
• 다수의 특이값 변환이 길이-제곱 샘플링 프레임워크에서 구현될 수 있음을 Demonstrate한다.
• 이전 접근법보다 개선된 복잡도 한계를 제공하고 유사한 접근 모델에서 양자 대응책과 비교한다.

제안 방법

• 행과 열에 대한 길이-제곱 샘플링을 사용하여 저랭크 행렬 A의 근사 특이값 분해를 기술한다.
• σ̃_{ℓ}에 대한 <ũ^{(ℓ)}|b> 값을 추정하여 암묵적 해 벡터 ~x ≈ A^+ b를 얻는다.
• 제거 샘플링(rejection sampling) 방식으로 |x_j|^2 / ||x||^2의 분포에서 샘플링한다.
• 쿼리 및 샘플 접근에 적합한 암묵적 설명 ~x를 출력하는 명시적 알고리즘(Algorithm 1)을 제공한다.
• 근사 특이 벡터/값과 A의 행 공간으로의 사영 사이의 관계를 보여주며 정확성을 분석한다.
• A에 대한 길이-제곱 접근과 b에 대한 쿼리 접근 하에서 복잡도 한계를 도출하며, 기존 연구에 비해 지수(exponent)가 개선된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저전력 길이-제곱 샘플링 프레임워크가 저랭크 행렬에 대해 양자 특이값 변환의 효과를 재현할 수 있는가?
• RQ2 Ax = b에 대해 다항로그 차원의 시간 알고리즘이 x = A^+ b의 의사 역해를 근사할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 근사 특이 벡터/값의 정확도가 회복된 해의 질 및 샘플링 분포의 질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 샘플링 파라미터(행/열 샘플링 수)가 오차 경계 및 성공 확률에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 고전적 알고리즘 경계가 유사한 데이터 접근 모델 하에서 양자 HHL 기반 기대치와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 저랭크 A에 대한 양자 매트릭스 역행에 대한 효율적 고전적 유사체가 길이-제곱 샘플링을 사용하여 구성된다.
• 알고리즘은 주어진 조건에서 A^+ b를 근사하는 내삽적 ~x를 얻으며 다항상 ε의 곱적 정확성을 달성한다.
• 두 단계의 샘플링(행 먼저, 열)을 통해 A와 그 SVD를 근사적으로 재현하기 위해 근사적인 특이값 및 오른쪽/왼쪽 특이 벡터를 얻는다.
• 이 방법은 타깃 분포에 대해 총 변화 거리 2ε로 해 분포에서 샘플링을 가능하게 한다.
• 획득한 복잡도 한계는 기존 관련 연구보다 지수(exponent)가 더 작고, 문제 차원에 대해 다항로그 의존성을 가진다(접근 모델 가정 하에서).