[논문 리뷰] Quantum linear systems algorithms: a primer

Danial Dervovic, Mark Herbster외 4명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 46인용 수 61

한 줄 요약

이 논문은 선형 시스템을 풀기 위한 Harrow-Hassidim-Lloyd(HHL) 양자 알고리즘과 그 하위 루틴들, 데이터 로딩 및 가변-시간 진폭 증폭과 양자 고유값 추정 기반 접근법을 포함한 현대 개선점을 자세히 소개하는 안내서다.

ABSTRACT

The Harrow-Hassidim-Lloyd (HHL) quantum algorithm for sampling from the solution of a linear system provides an exponential speed-up over its classical counterpart. The problem of solving a system of linear equations has a wide scope of applications, and thus HHL constitutes an important algorithmic primitive. In these notes, we present the HHL algorithm and its improved versions in detail, including explanations of the constituent sub- routines. More specifically, we discuss various quantum subroutines such as quantum phase estimation and amplitude amplification, as well as the important question of loading data into a quantum computer, via quantum RAM. The improvements to the original algorithm exploit variable-time amplitude amplification as well as a method for implementing linear combinations of unitary operations (LCUs) based on a decomposition of the operators using Fourier and Chebyshev series. Finally, we discuss a linear solver based on the quantum singular value estimation (QSVE) subroutine.

연구 동기 및 목표

• 양자 컴퓨팅에서 선형 시스템 해결을 광범위한 응용 원리로서의 의의로 제시한다.
• 선형 시스템 해로부터 샘플링하는 HHL 알고리즘을 제시하고 그 한계를 논의한다.
• 키 양자 하위 루틴(페이즈 추정, 진폭 증폭, QRAM) 및 데이터 로딩의 도전 과제를 설명한다.
• HHL의 개선(VTAA, 푸리에/체베셰프 분해를 통한 LCUs) 및 QSVE 기반 접근법을 조사한다.
• 비허모니안 확장과 QLSA의 최적성 고려사항을 논의한다.

제안 방법

• 맥락을 설정하기 위한 양자 컴퓨팅의 기본 개념과 게이트 모델을 설명한다.
• 양자 하위 루틴: 양자 푸리에 변환, 해밀토니언 시뮬레이션(Trotter-Suzuki 및 그 밖의 방법), 양자 페이즈 추정, 페이즈 킥백, 진폭 증폭, 언컴퓨트 트릭, 양자 RAM을 제시한다.
• 선형 시스템 문제와 그 양자 변형을 정의하고; HHL 알고리즘을 개략하고 오차 분석을 제시한다.
• 개선점 도입: 조건수 κ에 대한 의존성을 줄이는 가변-시간 진폭 증폭; 정밀도 개선; QSVE 기반 선형 시스템 알고리즘(QLSA)
• 비허모니안 행렬 처리 및 QSVE 기반 기법을 통한 더 조밀한 행렬 확장에 대해 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HHL 프레임워크와 그 개선을 통한 양자 컴퓨터에서 선형 시스템을 해결하는 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 선형 시스템 문제를 위해 양자 컴퓨터에 데이터를 효율적으로 로딩하고 추출하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 QLSA를 뒷받침하는 하위 루틴과 회로 원시 요소는 무엇이며 VTAA 및 LCU 기반 분해가 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 QSVE가 조밀한 행렬 선형 솔버를 가능하게 하는 방식과 이것이 QLSA에 주는 시사점은 무엇인가?
• RQ5 양자 선형 시스템 알고리즘의 한계와 최적성 고려사항(예: BQP 완전성, HHL의 최적성)은 무엇인가?

주요 결과

Problem	Algorithm	Runtime Complexity
LSP	CG [ She94 ]	O(Ns κ log(1/ε))
QLSP	HHL [ HHL09 ]	O(log(N) s^2 κ^2 / ε)
QLSP	VTAA-HHL [ Amb10 ]	O(log(N) s^2 κ / ε)
QLSP	Childs et. al. [ CKS17 ]	O(s κ polylog(s κ / ε))
QLSA	WZP18	O(κ^2 polylog(n) ||A||_F / ε)

• HHL은 적합한 데이터 로딩 가정하에 선형 시스템 해의 샘플링에서 지수적 속도 향상을 제공한다.
• 가변-시간 진폭 증폭과 같은 개선은 조건수 κ에 대한 의존성을 줄인다.
• 정밀도 의존성이 특정 변형에서 지수적으로 개선될 수 있다.
• 푸리에 및 체베셰프 분해를 사용하는 LCU 기반 구현은 해밀토니안과 유사한 진화를 보다 유연하게 만들 수 있다.
• QSVE는 희소 해밀토니언 가정 너머의 조밀 행렬 선형 시스템 해법으로의 경로를 제공한다.
• 비허모니안 행렬은 확장된 HHL 프레임워크 내에서 다룰 수 있다.