[논문 리뷰] Quantum locally linear embedding for nonlinear dimensionality reduction

Xi He, Li Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 계산을 활용한 비선형 차원 축소를 위한 두 가지 양자 알고리즘—선형대수 기반 QLLE와 변분 QLLE(VQLLE)—을 제안한다. 선형대수 기반 QLLE는 양자 선형대수 서브루틴을 활용하여 고전적 LLE에 비해 지수적 속도 향상을 달성하며, VQLLE는 하이브리드 양자-고전적 변분 접근 방식을 통해 근접한 양자 장치에서의 구현을 가능하게 하여 수치 실험에서 양호한 다양체 구조 보존 성능을 보였다.

ABSTRACT

Reducing the dimension of nonlinear data is crucial in data processing and visualization. The locally linear embedding algorithm (LLE) is specifically a representative nonlinear dimensionality reduction method with well maintaining the original manifold structure. In this paper, we present two implementations of the quantum locally linear embedding algorithm (QLLE) to perform the nonlinear dimensionality reduction on quantum devices. One implementation, the linear-algebra-based QLLE algorithm, utilizes quantum linear algebra subroutines to reduce the dimension of the given data. The other implementation, the variational quantum locally linear embedding algorithm (VQLLE) utilizes a variational hybrid quantum-classical procedure to acquire the low-dimensional data. The classical LLE algorithm requires polynomial time complexity of $N$, where $N$ is the global number of the original high-dimensional data. Compared with the classical LLE, the linear-algebra-based QLLE achieves quadratic speedup in the number and dimension of the given data. The VQLLE can be implemented on the near term quantum devices in two different designs. In addition, the numerical experiments are presented to demonstrate that the two implementations in our work can achieve the procedure of locally linear embedding.

연구 동기 및 목표

• 고차원 비선형 데이터에서 고전적 局부선형통합(LLE)의 계산적 병목 현상을 해결하기 위해 양자 대체 방법을 개발하기 위해.
• 양자 알고리즘을 사용하여 비선형 차원 축소에서 속도 향상을 달성하기 위해.
• 근접한 노이지 인터미디에이트 스케일 양자(NISQ) 장치와 호환되는 변분 양자-고전적 접근 방식(VQLLE)을 설계하기 위해.
• 양자 강화된 LLE를 사용하여 차원 축소 과정에서 데이터의 본질적 다양체 구조를 보존하기 위해.
• 수치 실험을 통해 양자 LLE의 구현 가능성과 성능을 검증하기 위해.

제안 방법

• LLE 최적화 문제를 O(poly(log N)) 시간 내에 해결할 수 있는 선형대수 기반 QLLE를 제안하며, 고전적 LLE의 O(poly(N)) 복잡도에 비해 지수적 속도 향상을 달성한다.
• 사전처리 단계에서 양자 k-NN 알고리즘을 적용하여 데이터 크기에 대해 제곱근 속도 향상을 달성한다.
• 저차원 임베딩을 최적화하기 위해 파라미터화된 양자 회로를 사용하는 변분 하이브리드 양자-고전적 절차를 설계한다.
• NISQ 시대의 양자 하드웨어에 맞게 최적화된 두 가지 VQLLE 변종—종단 간(end-to-end) 및 행렬 곱 기반—을 제안한다.
• 라그랑주 최적화를 적용하여 가중치 행렬 W와 임베딩 행렬 Y를 유도하며, LLE 비용 함수를 제약 조건이 있는 고유값 문제로 재구성한다.
• 유니버설 양자 컴퓨터에서 선형대수 성분을 효율적으로 해결하기 위해 양자 위상 추정 및 양자 특이값 변환 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 고전적 LLE에 비해 비선형 차원 축소에서 상당한 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제한된 큐비트 혼돈 시간과 회로 깊이를 가진 근접한 양자 장치에서 LLE 알고리즘을 어떻게 구현할 수 있는가?
• RQ3 본질적 다양체 구조 보존 측면에서, 유니버설 양자 알고리즘(QLLE)과 변분 하이브리드 접근(VQLLE) 간의 성능 상충 관계는 어떠한가?
• RQ4 양자 강화 k-NN 검색이 QLLE의 사전처리 단계 효율성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 VQLLE 내의 다양한 파라미터화된 양자 회로 설계가 저차원 임베딩의 품질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 선형대수 기반 QLLE는 고전적 LLE에 비해 시간 복잡도에서 지수적 속도 향상을 달성하여, O(poly(N))에서 O(poly(log N))로 감소시켰다.
• VQLLE는 변분 하이브리드 양자-고전적 프레임워크를 사용하여 근접한 양자 장치에서의 실행이 가능하여 현재 하드웨어 제약 조건에서도 실현 가능하다.
• 수치 실험 결과, QLLE의 두 구현 모두 본질적 다양체 구조를 잘 보존하면서 국소선형통합을 성공적으로 수행함을 확인하였다.
• 수치 평가에서 VQLLE 변종이 선형대수 기반 QLLE보다 더 우수한 전반적 구조 보존 성능을 보였다.
• 양자 k-NN 서브루틴은 QLLE의 사전처리 단계에서 최근접 이웃을 식별하는 데 있어 제곱근 속도 향상을 달성하였다.