[논문 리뷰] Quantum Lower and Upper Bounds for 2D-Grid and Dyck Language

Andris Ambainis, Kaspars Balodis외 7명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 두 문제인 Dyckk,n(깊이 ≤k인 균형 잡힌 괄호 검사)과 2D 격자 연결성에 대한 양자 질의 복잡도 상한을 설정한다. Dyckk,n에 대해 Ω(ck√n)의 지수적 하한을 증명하여 복잡도가 k에 대해 지수적으로 증가함을 보이며, O(√n(log n)^0.5k)의 양자 알고리즘을 제시한다. 2D 격자 연결성에 대해서는 방향성과 비방향성 격자에 대해 각각 Ω(n^{1.5−ϵ}) 및 Ω(n^{2−ϵ})의 하한을 증명하며, Dyck 문제를 격자 구조에 통합함으로써 이를 달성한다.

ABSTRACT

We study the quantum query complexity of two problems. First, we consider the problem of determining if a sequence of parentheses is a properly balanced one (a Dyck word), with a depth of at most $k$. We call this the $Dyck_{k,n}$ problem. We prove a lower bound of $Ω(c^k \sqrt{n})$, showing that the complexity of this problem increases exponentially in $k$. Here $n$ is the length of the word. When $k$ is a constant, this is interesting as a representative example of star-free languages for which a surprising $ ilde{O}(\sqrt{n})$ query quantum algorithm was recently constructed by Aaronson et al. Their proof does not give rise to a general algorithm. When $k$ is not a constant, $Dyck_{k,n}$ is not context-free. We give an algorithm with $O\left(\sqrt{n}(\log{n})^{0.5k} ight)$ quantum queries for $Dyck_{k,n}$ for all $k$. This is better than the trival upper bound $n$ for $k=o\left(\frac{\log(n)}{\log\log n} ight)$. Second, we consider connectivity problems on grid graphs in 2 dimensions, if some of the edges of the grid may be missing. By embedding the "balanced parentheses" problem into the grid, we show a lower bound of $Ω(n^{1.5-ε})$ for the directed 2D grid and $Ω(n^{2-ε})$ for the undirected 2D grid. The directed problem is interesting as a black-box model for a class of classical dynamic programming strategies including the one that is usually used for the well-known edit distance problem. We also show a generalization of this result to more than 2 dimensions.

연구 동기 및 목표

• 문자열의 괄호가 깊이 최대 k 이내로 균형 잡혀 있는지 확인하는 문제인 Dyckk,n의 양자 질의 복잡도를 규명하는 것.
• 특히 k가 n과 함께 증가할 때 Dyckk,n에 대해 날카로운 하한과 상한을 설정하여, 비문맥 자유 스타-자유 언어에 대한 양자 가속의 한계를 이해하는 것.
• 결손된 간선이 있는 2D 및 d차원 격자 그래프에서의 연결성에 대한 양자 질의 복잡도를 분석하는 것. 동적 프로그래밍과 편집 거리 문제에 기인한 동기.
• Dyckk,n과 격자 연결성에 대한 양자 알고리즘이 고전적 동적 프로그래밍 전략에 대한 하한을 유도하는 데 사용될 수 있음을 보여주는 것.
• 결과를 고차원 격자로 일반화하고, 연결성 문제를 통한 동적 프로그래밍에 대한 양자 가속 가능성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 다항식 방법과 반대자 방법의 하이브리드를 사용하여 Dyckk,n에 대해 Ω(ck√n)의 양자 질의 하한을 증명함으로써 k에 대한 지수적 의존성을 보임.
• 확률 진폭 강화와 괄호 구조의 재귀적 분해를 사용하여 O(√n(log n)^0.5k) 질의를 갖는 Dyckk,n에 대한 양자 알고리즘을 구축함.
• 중첩된 괄호를 격자 내 경로로 매핑하여 Dyckk,n 인스턴스를 2D 격자 그래프에 통합함으로써 깊이 제약 조건을 기하학적 배치를 통해 유지.
• 격자 통합을 통해 Dyckk,n에서 유도된 하한을 2D 격자 연결성으로 이전하여, 방향성 격자에 대해 Ω(n^{1.5−ϵ}) 및 비방향성 격자에 대해 Ω(n^{2−ϵ})의 하한을 증명함.
• 차원을 반복적으로 접고 부분 격자 통합을 사용하여 d차원 격자로 하한을 일반화함으로써, 비방향성 격자에 대해 Ω((n₁⋯n_d)^{1−ϵ}) 및 방향성 격자에 대해 Ω((n_{d-1} ∏n_i)^{1/2−ϵ})의 하한을 증명함.
• 분석에서 스펜 프로그램 방법과 양자 워크 기법을 적용하였지만, 방향성 경우는 비대칭 연결성으로 인해 별도의 접근이 필요함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k가 n과 함께 증가할 때 Dyckk,n의 양자 질의 복잡도는 어떻게 되며, k에 대해 지수적 의존성을 보이는가?
• RQ2 k가 일정하지 않을 때 Dyckk,n에 대한 양자 알고리즘이 비선형 질의 복잡도를 달성할 수 있으며, 고전적 n 질의 상한과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ3 간선이 결손될 수 있는 2D 격자에서의 방향성 및 비방향성 연결성에 대한 양자 질의 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 Dyck 언어 문제를 격자 그래프에 통합하여 격자 연결성에 대한 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 d차원 격자 연결성에 대한 양자 질의 복잡도 상한은 무엇이며, 차원과 격자 크기에 따라 어떻게 척도화되는가?

주요 결과

• Dyckk,n의 양자 질의 복잡도는 어떤 c > 1에 대해 모든 k ≤ log n에 대해 Ω(ck√n)이며, k에 대한 지수적 의존성을 증명함.
• k = c log n일 때 적절한 c에 대해 복잡도는 Ω(n^{1−ϵ})이 되며, 이는 심지어 로그 깊이의 Dyck 단어도 무한 깊이의 경우와 거의 동일한 난이도를 가짐을 보여줌.
• 명시적인 Dyckk,n 양자 알고리즘이 O(√n(log n)^0.5k)의 질의를 달성하며, k = o(log n / log log n)일 때 고전적 n 질의 상한보다 우수함.
• 방향성 2D 격자 연결성의 경우 양자 질의 복잡도는 Ω(n^{1.5−ϵ})이며, 비방향성의 경우 Ω(n^{2−ϵ})이며, 모두 ϵ에 대해 날카로움.
• 2D 격자에 대한 하한은 Dyckk,n 인스턴스를 격자에 통합함으로써 도출되었으며, 격자 연결성 문제를 해결하는 것은 Dyckk,n을 해결하는 것만큼 어렵다는 것을 보여줌.
• d차원 격자에 대해서는 비방향성 연결성에 대해 Ω((n₁⋯n_d)^{1−ϵ})의 하한이 약간의 조건 하에 성립하며, 방향성 격자에 대해서는 Ω((n_{d-1} ∏n_i)^{1/2−ϵ})의 하한이 성립하여 2D 결과를 일반화함.