[논문 리뷰] Quantum Lower Bound for Approximate Counting Via Laurent Polynomials

Scott Aaronson, Kothari, Robin외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 49인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 집합 S⊆[N]에 대한 균일한 초구성 상태 |S⟩와 함께 양자 멤버십 쿼리가 가능할 경우, 근사 카운팅에 대한 양자 하한을 확립한다. 음수 차수 항을 포함하는 라우렌트 다항식—다항식의 일반화된 형태—를 사용하여, 어떤 양자 알고리즘도 Ω(√(N/|S|)) 쿼리 또는 Ω(min{|S|^{1/4}, √(N/|S|)}) 개의 |S⟩ 복사본을 반드시 사용해야 한다고 증명한다. 이는 블랙박스 모델에서 QSampling이 효율적인 근사 카운팅을 암시하지는 않음을 보여준다.

ABSTRACT

We study quantum algorithms that are given access to trusted and untrusted quantum witnesses. We establish strong limitations of such algorithms, via new techniques based on Laurent polynomials (i.e., polynomials with positive and negative integer exponents). Specifically, we resolve the complexity of approximate counting, the problem of multiplicatively estimating the size of a nonempty set S ⊆ [N], in two natural generalizations of quantum query complexity. Our first result holds in the standard Quantum Merlin - Arthur (QMA) setting, in which a quantum algorithm receives an untrusted quantum witness. We show that, if the algorithm makes T quantum queries to S, and also receives an (untrusted) m-qubit quantum witness, then either m = Ω(|S|) or T = Ω(√{N/|S|}). This is optimal, matching the straightforward protocols where the witness is either empty, or specifies all the elements of S. As a corollary, this resolves the open problem of giving an oracle separation between SBP, the complexity class that captures approximate counting, and QMA. In our second result, we ask what if, in addition to a membership oracle for S, a quantum algorithm is also given "QSamples" - i.e., copies of the state |S⟩ = 1/√|S| ∑_{i ∈ S} |i⟩ - or even access to a unitary transformation that enables QSampling? We show that, even then, the algorithm needs either Θ(√{N/|S|}) queries or else Θ(min{|S|^{1/3},√{N/|S|}}) QSamples or accesses to the unitary. Our lower bounds in both settings make essential use of Laurent polynomials, but in different ways.

연구 동기 및 목표

• 양자 샘플링(QSampling)과 멤버십 쿼리가 함께 존재할 때, 이들이 효율적인 양자 근사 카운팅을 암시하는지 여부를 해결하기 위해.
• 양자 근사 카운팅을 위한 복합 자원(쿼리 및 |S⟩ 복사본)에 필요한 날카운 하한을 확립하기 위해.
• 초구성 접근을 가진 양자 알고리즘을 분석하기 위한 새로운 기법—라우렌트 다항식 방법—을 개발하기 위해.
• 멤버십 오라클과 |S⟩ 상태가 모두 존재하더라도, 양자 알고리즘이 근사 카운팅에서 고전적 방법보다 초과 제곱근 속도 향상 이외의 성능 향상을 이룰 수 없음을 보여주기 위해.

제안 방법

• |S⟩ 접근을 고려할 수 있는 양자 알고리즘의 수용 확률을 모델링하기 위해, 고전적 다항식 방법을 음수 차수 항을 포함하는 라우렌트 다항식으로 일반화한다.
• |S⟩ 복사본과 멤버십 쿼리의 영향을 반영하기 위해, 양자 알고리즘의 평균 수용 확률을 |S|에 대한 라우렌트 다항식으로 모델링한다.
• 실수 다항식과 근사 이론의 성질을 활용하여, 라우렌트 다항식의 차수 하한을 적용해 쿼리 및 복사본 복잡도 간의 트레이드오프를 유도한다.
• Zhandry(2017)의 영감을 얻은 하이브리드 추론을 사용하여 문제를 단지 |S⟩ 복사본 수의 하한을 구하는 것으로 환원한다. 이를 위해 혼합 상태 ρ_{L,w,k}와 ρ_{L,2w,k} 간의 트레이스 거리 비교를 수행한다.
• BBBV 정리(검색에 대한 양자 쿼리 하한)를 활용하여, 오라클이 더 큰 집합 U로 제한된 경우, 크기가 w와 2w인 집합을 구분하기 위해 Ω(√(N/L)) 쿼리가 필요하다는 것을 보여준다.
• 라우렌트 다항식 방법과 트레이스 거리 분석을 조합하여, |S|=w와 |S|=2w를 구분하기 위한 쿼리 복잡도와 복사본 복잡도 간의 트레이드오프를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QSampling과 멤버십 쿼리가 함께 존재할 때, 이들이 효율적인 양자 근사 카운팅을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 양자 근사 카운팅을 위한 멤버십 쿼리 수와 |S⟩ 복사본 수 사이의 최적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ3 다항식 방법을 라우렌트 다항식을 다룰 수 있도록 확장할 수 있는가? 이는 초구성 접근이 있는 설정에서 하한을 증명하기 위해 유용하다.
• RQ4 멤버십 쿼리와 |S⟩ 복사본이 모두 존재할 때, 고전적 근사 카운팅보다 초과 제곱근 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ5 |S| = w와 |S| = (1+ε)w를 구분할 때, 최적의 ε 의존성은 무엇인가?

주요 결과

• |S| = w와 |S| = 2w를 구분하기 위한 어떤 양자 알고리즘도 Ω(√(N/w)) 멤버십 쿼리 또는 Ω(min{w^{1/4}, √(N/w)}) 개의 |S⟩ 복사본을 반드시 사용해야 한다.
• |S| = w = N^{2/3}일 경우, 하한은 Ω(N^{1/6}) 복사본 또는 쿼리가 되며, 이는 고전적 방법 대비 최대 제곱근 속도 향상임을 보여준다.
• 라우렌트 다항식 방법은 초구성 접근을 가진 양자 알고리즘의 행동을 성공적으로 포괄하며, 고전적 다항식 방법을 역수의 차수를 다룰 수 있도록 확장한다.
• 복사본 복잡도에 대한 하한 Ω(w^{1/4})는 다항식 방법만으로는 Ω(w^{1/3}) 이하로 개선될 수 없음을 보여주며, 이는 근본적인 장벽을 시사한다.
• 하이브리드 추론을 통해 문제를 복사본 복잡도의 하한만을 구하는 것으로 환원하였으며, 더 나은 하한을 얻으려면 다항식 방법을 초월한 기법이 필요하다는 것을 보여준다.
• 결과는 알려진 양자 상한과 다항식 인자 범위 내에 있다: O(√(N/w)) 쿼리(복사본 없음) 또는 O(√w) 복사본(쿼리 없음).