[논문 리뷰] Quantum machine learning with subspace states

Iordanis Kerenidis, Anupam Prakash|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 31.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 지수적 또는 고차 다항식 속도 향상을 가능하게 하는 새로운 양자 기계학습 알고리즘을 위해 양자 부분공간 상태를 도입한다. 세 가지 알고리즘을 제시한다: O(nd) 게이트와 O(d log n) 깊이를 가지는 행렬식 샘플링, 잠재적으로 지수적 속도 향상을 보이는 복합 행렬에 대한 특이값 추정, 그리고 클리포드 로더 기반 유니터리에 디랙 연산자를 임bedding하여 구현한 로그 깊이의 양자 위상수학적 데이터 분석 회로.

ABSTRACT

We introduce a new approach for quantum linear algebra based on quantum subspace states and present three new quantum machine learning algorithms. The first is a quantum determinant sampling algorithm that samples from the distribution $\Pr[S]= det(X_{S}X_{S}^{T})$ for $|S|=d$ using $O(nd)$ gates and with circuit depth $O(d\log n)$. The state of art classical algorithm for the task requires $O(d^{3})$ operations \cite{derezinski2019minimax}. The second is a quantum singular value estimation algorithm for compound matrices $\mathcal{A}^{k}$, the speedup for this algorithm is potentially exponential. It decomposes a $\binom{n}{k}$ dimensional vector of order-$k$ correlations into a linear combination of subspace states corresponding to $k$-tuples of singular vectors of $A$. The third algorithm reduces exponentially the depth of circuits used in quantum topological data analysis from $O(n)$ to $O(\log n)$. Our basic tool are quantum subspace states, defined as $|Col(X) angle = \sum_{S\subset [n], |S|=d} det(X_{S}) |S angle$ for matrices $X \in \mathbb{R}^{n imes d}$ such that $X^{T} X = I_{d}$, that encode $d$-dimensional subspaces of $\mathbb{R}^{n}$. We develop two efficient state preparation techniques, the first using Givens circuits uses the representation of a subspace as a sequence of Givens rotations, while the second uses efficient implementations of unitaries $Γ(x) = \sum_{i} x_{i} Z^{\otimes (i-1)} \otimes X \otimes I^{n-i}$ with $O(\log n)$ depth circuits that we term Clifford loaders.

연구 동기 및 목표

• QRAM과 희소 행렬에 기반한 기존 양자 기계학습 알고리즘의 한계를 해결하기 위해, 탈양자화 결과로 인해 종단 간 속도 향상이 어려운 문제를 해결한다.
• 양자 위상수학적 데이터 분석(TDA)과 선형 대수 알고리즘에서 높은 회로 깊이와 상태 준비 오버헤드 문제를 해결한다.
• 구조화된 양자 선형 대수 작업을 위한 효율적인 상태 준비와 유니터리 블록 인코딩을 가능하게 하는 새로운 프레임워크를 개발한다.
• 회로 깊이를 O(n)에서 O(log n)으로 감소시켜, 낮은 질량과 위상수학적 데이터 분석에서 실용적인 양자 우월성 확보 경로를 제공한다.

제안 방법

• 정규직교 행렬 X ∈ ℝ^{n×d}에 대해, d차원 ℝ^n 부분공간을 인코딩하는 양자 부분공간 상태를 |Col(X)⟩ = ∑_{S⊂[n],|S|=d} det(X_S) |S⟩ 로 정의한다.
• 두 가지 효율적인 상태 준비 기법을 제안한다: 부분공간 표현을 위한 로테이션 시퀀스를 통한 기븐스 회로, 그리고 O(log n) 깊이로 실행 가능한 유니터리 Γ(x) = ∑_i x_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−i)} 를 구현하기 위한 클리포드 로더.
• 단순 복합체의 디랙 연산자를 블록 인코딩된 행렬로 사용하여, U = ∑_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−1)} 로 표현되는 유니터리의 부분행렬임을 보여주며, 이는 클리포드 로더를 통해 로그 깊이로 구현 가능하다.
• 디랙 연산자의 클리포드 로더 기반 유니터리에 대한 블록 인코딩을 활용하여, 감소된 회로 깊이로 특이값 추정과 고유값 샘플링을 효율적으로 수행한다.
• 유니터리 임베딩을 통해 O(n)-깊이 회로를 O(log n)-깊이 대체 회로로 교체함으로써, 양자 위상수학적 데이터 분석에 프레임워크를 적용한다.
• 저깊이 블록 인코딩을 기반으로 한 특이값 변환과 큐비트화 기법을 적용하여, 디랙 연산자의 빠른 고유값 추정을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 부분공간 상태는 QRAM 기반 접근 방식을 초월하여 증명 가능한 속도 향상을 보이는 새로운 양자 기계학습 알고리즘을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ2 블록 인코딩 기법을 사용하여, 양자 위상수학적 데이터 분석의 회로 깊이를 O(n)에서 O(log n)으로 줄일 수 있는가?
• RQ3 부분공간 상태 표현을 통해 복합 행렬에 대한 특이값 추정에서 지수적 또는 고차 다항식 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ4 클리포드 로더 회로를 사용하여 부분공간을 인코딩하는 양자 상태를 효율적으로 준비하고, 로그 깊이로 구현 가능한 구조화된 유니터리를 구현할 수 있는가?
• RQ5 부분공간 상태와 저깊이 구성 기법을 통해, 양자 기계학습의 탈양자화 위협을 어느 정도 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 행렬식 샘플링 알고리즘은 O(nd) 게이트와 O(d log n) 회로 깊이로 실행되어 고전적 O(d³) 알고리즘에 비해 상당한 향상을 이룬다.
• 복합 행렬 𝒜ᵏ에 대한 양자 특이값 추정 알고리즘은 k차 상관관계를 부분공간 상태의 선형 조합으로 분해함으로써 잠재적으로 지수적 속도 향상을 달성한다.
• 단순 복합체의 디랙 연산자는 U = ∑_i Z^{⊗(i−1)} ⊗ X ⊗ I^{⊗(n−1)} 로 표현되는 유니터리의 부분행렬임을 보이며, 이는 클리포드 로더를 통해 로그 깊이로 구현 가능하다.
• 디랙 연산자에 대한 양자 회로는 O(n log n) 게이트와 O(log n) 깊이로 구성되어, 이전 TDA 접근 방식의 O(n) 깊이에서 크게 감소시켰다.
• 디랙 연산자의 저깊이 유니터리에 대한 블록 인코딩은 큐비트화와 특이값 변환 기법과 조합될 때, 양자 위상수학적 데이터 분석의 회로 깊이를 지수적으로 감소시킨다.
• 프레임워크는 양자 TDA에서 고깊이 회로의 블랙박스 호환 대체품을 제공하며, 동일한 점근적 런타임을 유지하면서 깊이를 극적으로 감소시켜, 근접한 양자 장치에 있어 매우 중요하다.