[논문 리뷰] Quantum Magic via Perfect Pauli Sampling of Matrix Product States

Guglielmo Lami, Mario Collura|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 09.

Quantum many-body systems인용 수 10

한 줄 요약

매트릭스 곱(MPS) 상태에 대한 완벽한 파울리 문자열 샘플링 방법을 도입하여 Stabilizer Rényi Entropies(SREs)를 효율적으로 추정하고 N-큐비트 상태의 비안정성(매직)을 정량화하며 다이나믹스 및 아이징 모델 벤치마크 연구를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a novel breakthrough approach to evaluate the nonstabilizerness of an $N$-qubits Matrix Product State (MPS) with bond dimension $χ$. In particular, we consider the recently introduced Stabilizer Rényi Entropies (SREs). We show that the exponentially hard evaluation of the SREs can be achieved by means of a simple perfect sampling of the many-body wave function over the Pauli string configurations. The sampling is achieved with a novel MPS technique, which enables to compute each sample in an efficient way with a computational cost $O(Nχ^3)$. We benchmark our method over randomly generated magic states, as well as in the ground-state of the quantum Ising chain. Exploiting the extremely favourable scaling, we easily have access to the non-equilibrium dynamics of the SREs after a quantum quench.

연구 동기 및 목표

• 다체 상태에서 엔트렝먼트(entanglement)를 넘어 비안정성(매직)을 정량화할 필요성을 동기 부여한다.
• MPS에 대해 Stabilizer Rényi Entropies(SREs)를 계산하기 위한 효율적인 샘플링 기반 방법을 개발한다.
• 계산이 시스템 크기와 MPS 결합 차원에 따라 유리하게 스케일되도록 한다.
• 무작위 MPS, Ising 모델의 기저 상태(ground states), 그리고 퀜치 다이나믹스에서 방법을 벤치마크한다.

제안 방법

• SREs를 Pauli 문자열 분포 im[ρ](p)의 Renyi 엔트로피로 정의한다.
• Pauli-string 분포를 조건부 확률의 곱으로 재작성하여 순차 샘플링(Pauli 샘플링)을 가능하게 한다.
• 샘플링 중에 효율적인 MPS 수축을 이용해 조건부 확률을 계산하고 유효 환경 텐서를 업데이트한다.
• Pauli 문자열을 확률 p(p)로 샘플링하고 전체 샘플링 확률을 누적하는 반복적이고 오른쪽으로 정규화된 MPS 절차를 제공한다.
• 샘플당 샘플링 비용이 O(N χ^3)으로 스케일되고, 총 비용은 O(N χ^3)로서 N 샘플에 대해.
• n>1 및 n=1에 대한 오차 분석을 논의하고 분산 한계 및 샘플링 요구사항을 포함한다.

Figure 1: MPS evaluation of the marginal probability $\pi_{\rho}(\sigma_{1})$ . Dotted lighter shapes represent conjugate tensors. Contractions over the auxiliary indices can be easily carried out thanks to the property in Eq. ( 7 ), together with the right-normalization of the $\mathbb{A}_{i}$ tens

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SREs를 유한 결합 차원 χ를 가진 N-큐비트 MPS에 대해 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 완벽한 파울리 문자열 샘플링이 Hilbert 공간 크기에 독립적인 편향되지 않고 확장 가능한 SRE 추정기를 제공하는가?
• RQ3 무작위 MPS 상태, Ising 모델의 기저 상태, 그리고 급격한 쿼치(quench) 이후의 비평형 다이나믹스에서 방법은 어떻게 성능을 보이는가?
• RQ4 다이나믹스 중 Ising형 모델의 구속 현상에 대한 SRE의 민감도는 어떤가?

주요 결과

• 파울리 샘플링 방법은 샘플링 비용이 샘플당 O(N χ^3)으로 스케일링되는 SRE의 편향되지 않은 추정기를 제공한다.
• 무작위 MPS 및 Ising 기저 상태에서의 실험은 이론/페르미적 결과와 오차 범위 내에서 일치하는 것을 보인다.
• 샘플링은 구속이 있는 영역을 포함하는 쿤치를 포함한 비평형 SRE 다이나믹스에 접근 가능하게 한다.
• SRE(매직 밀도)는 시스템 크기와 함께 광범위하게 스케일링되어 밀도 m_n = M_n/N가 의미 있게 된다.
• 대형 χ(예: χ 최대 약 128) 및 N이 수십 큐비트인 경우에도 샘플링은 실용적이며, 단일 노드에서 샘플당 소요 시간이 약 0.1초이다.
• n=1인 경우 분산 분석은 시스템 크기에 대한 샘플링 요구사항이 다항식으로 스케일링함을 시사한다.

Figure 2: The iterative sampling Algorithm 1 .