[논문 리뷰] Quantum Mechanics as Asymptotics of Solutions of Generalized Kramers Equation

E. M. Beniaminov|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 28.

advanced mathematical theories참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 운동량 공간에서의 확산을 고려한 일반화된 크람스 방정식을 기반으로 하는 확률적 동역학 모델을 제안하며, 양자역학이 그 점점 가까워지는 극한으로서 유도된다. 매질 저항이 단위 질량당 크면, 시스템은 빠른 정착 상태로의 진화, 유니터리 슈뢰딩거 유사 진동, 고유상태로의 디코herence, 그리고 최종적으로 지브스 상태로의 열적 평형에 이르는 단계를 거친다. 이는 고전적 확률적 과정에서 유도되는 양자역학의 기원을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the process of diffusion scattering of a wave function given on the phase space. In this process the heat diffusion is considered only along momenta. We write down the modified Kramers equation describing this situation. In this model, the usual quantum description arises as asymptotics of this process for large values of resistance of the medium per unit of mass of particle. It is shown that in this case the process passes several stages. During the first short stage, the wave function goes to one of "stationary" values. At the second long stage, the wave function varies in the subspace of "stationary" states according to the Schrodinger equation. Further, dissipation of the process leads to decoherence, and any superposition of states goes to one of eigenstates of the Hamilton operator. At the last stage, the mixed state of heat equilibrium (the Gibbs state) arises due to the heat influence of the medium and the random transitions among the eigenstates of the Hamilton operator. Besides that, it is shown that, on the contrary, if the resistance of the medium per unit of mass of particle is small, then in the considered model, the density of distribution of probability $ρ=|ϕ|^2$ satisfies the standard Liouville equation, as in classical statistical mechanics.

연구 동기 및 목표

• 위상공간에서의 고전적 확률적 과정으로부터 양자역학을 점점 가까워지는 극한으로 유도하는 것.
• 운동량에 의존하는 확산과 복소 위상 역학을 갖는 수정된 크람스 방정식을 통해 파동함수 진동을 모델링하는 것.
• 고저항 조건에서 장시간에 걸쳐 슈뢰딩거 방정식이 나타나는 방식을 보여주는 것.
• 디코herence와 열적 평형이 동일한 확률적 과정의 후속 단계로 나타나는 방식을 설명하는 것.
• 해밀토니안의 고유상태와 시스템의 최종 평형 상태 사이의 대응관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 위상공간에서 복소수 파동함수 φ(x,p,t)에 대해 운동량 변수 방향으로만 확산이 일어나는 일반화된 크람스 방정식을 수립한다.
• 시간 척도를 분리하기 위해 무차원 매개변수 ε = ħ/(γħ) 를 도입하고 점점 가까워지는 분석을 가능하게 한다.
• 특이 섭동 이론을 적용하여 파동함수를 느린(φ₀) 및 빠른(φ₁) 성분으로 분해하며, φ₀는 확산 연산자의 영모드 부분공간에서 진화한다.
• 투영된 연산자 P₀A′의 고유함수 전개를 사용하여 느린 다양체 위에서의 효과적 동역학을 유도한다.
• 느린 다양체 위에서의 효과적 시간 진동을 슈뢰딩거 유사 방정식으로 유도하며, 이는 고유값 문제의 주요 보정 항에서 유도된 해밀토니안 H를 포함한다.
• 고차항 고유값 보정의 실수부(Re(λ²_k))가 디코herence 및 지브스 상태로의 열적 평형을 이끄는 원인임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 확률적 과정에 운동량 공간에서의 확산이 있을 때, 양자역학이 점점 가까워지는 극한으로 나타날 수 있는가?
• RQ2 고저항 조건 하에서 파동함수의 진화 과정에서 명백한 동역학 단계는 무엇인가?
• RQ3 큰 저항 조건에서 수정된 크람스 방정식으로부터 슈뢰딩거 방정식은 어떻게 도출되는가?
• RQ4 투영된 연산자의 고유값은 디코herence 및 열적 평형을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 작은 저항 조건에서 확률 밀도 ρ = |φ|²는 어떻게 행동하며, 고전적 리우빌 역학과 비교해보면 어떠한가?

주요 결과

• 저항이 크면(ε가 작으면), 파동함수는 확산 연산자 B′의 핵심(핵)에 해당하는 '정적 상태' 부분공간으로 급속히 정착한다.
• 느린 다양체 위에서 파동함수의 시간 진동은 고유값 문제의 주요 보정 항에서 도출된 해밀토니안 H를 갖는 슈뢰딩거 유사 방정식에 의해 지배된다.
• 두 번째 차수 고유값 보정의 실수부(Re(λ²_k))는 디코herence 속도를 결정하며, 초위상 상태가 개별 고유상태로 붕괴되게 한다.
• 시간 척도 t ∼ 1/(γε²) 이후, 시스템의 상태는 Re(λ²_k)가 가장 큰 고유상태에 의해 지배되며, 이는 효과적인 파동함수 붕괴를 초래한다.
• 작은 저항 조건(큰 ε)에서는 확률 밀도 ρ = |φ|²가 고전적 리우빌 방정식을 만족하며, 고전적 통계역학과 일치한다.
• 최종 단계에서는 에너지 고유상태 간의 지속적인 열 교환 및 무작위 전이로 인해 지브스 상태로의 열적 평형에 도달한다.