[논문 리뷰] Quantum Mechanics in General Relativity

E. A. Tagirov|ArXiv.org|1998. 07. 14.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 좌표 불변성과 준비상대론적 양자역학을 갖는 스핀이 없는 점입자를 곡면 시공간 $V_{1,3}$에서 유도하여, 실수 스칼라 장의 양자장론에서 슈뢰딩거 형 방정식을 유도하고, 점 渐진적으로 헤르미트 행렬을 갖는 해밀토니안을 얻는다. 주요 결과는 좌표와 운동량 연산자가 일반적으로 비가환성을 띠며, 표준 캐논ical 양자화와는 다름없이 상대론적 보정에 의해, 비록 비민코프스키 시공간이 아니더라도 비상대론적 근사 또는 평탄한 시공간에서 데카르트 좌표계를 사용할 경우를 제외하고는 항상 비가환성을 띤다.

ABSTRACT

Having started with the general formulation of the quantum theory of the real scalar field (QFT) in the general Riemannian space--time $ V_{1,3} $, the general--covariant quasinonrelativistic quantum mechanics of a point-like spinless particle in $ V_{1,3} $ is constructed. To this end, for any normal geodesic 1+3--foliation of $ V_{1,3} $, a space $Φ^-$ of asymptotic in $c^{-1}$ solutions of the field equation is specified, which can be mapped to a space $Ψ$ of solutions of a Schrödinger equation with an (asymptotically) Hermitean hamiltonian and the Born probabilistic interpretation of the vectors of $Ψ$. The basic operators of the momentum and the spatial position of the particle acting in $Ψ$ generated by the corresponding observables of QFT include relativistic corrections, and therefore differ generally from those which follow for the geodesic motion in $ V_{1,3} $ from the canonical postulates of quantization. In particular, the operators of coordinates do not commute as well as the operators of the conjugate momenta, except the cases of Cartesian coordinates in the Minkowski space--time or of the exact nonrelativistic limit $(c^{-1} = 0)$. This approach provides QFT in the general $ V_{1,3} $ in the Fock representation with a particle interpretation based on the Born interpretation of wave functions.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에 호환되는 곡면 시공간에서 스핀이 없는 점입자를 위한 일관된 양자역학을 수립하는 것.
• 곡면 시공간에서의 양자장론의 프레임워크로부터 점 渐진적으로 헤르미트 해밀토니안을 갖는 슈뢰딩거 방정식을 유도하는 것.
• 일반 시공간 $V_{1,3}$에서 파동함수의 보른 확률 해석을 수립하고, 곡면 배경으로의 폴크 표현을 확장하는 것.
• 상대론적 보정이 곡면 시공간에서 표준 양자역학적 연산자(위치, 운동량)에 어떻게 영향을 주는지 조사하는 것.
• 이 일반적 프레임워크에서 표준 비상대론적 양자역학이 어떻게 유도되는지를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 일반 리만 시공간 $V_{1,3}$에서 실수 스칼라 장에 대한 일반적 양자장론(QFT) 수식을 기반으로 시작한다.
• 속도의 제곱역수인 $c$의 음의 거듭제곱으로 표현되는 해의 공간 $\Phi^-$를 식별하여, 준비상대론적 근사에서 유효한 점근적 해를 확보한다.
• 이 공간 $\Phi^-$를 점 渐진적으로 헤르미트 해밀토니안을 갖는 슈뢰딩거 방정식의 해로 구성된 힐베르트 공간 $\Psi$로 매핑한다.
• 상대론적 보정을 포함한 QFT 관측량을 바탕으로 $\Psi$에서 운동량과 공간적 위치 연산자를 정의한다.
• 시공간을 일반 좌표 불변 방식으로 시간 진동과 공간적 구조를 정의하기 위해 정상적 지오데식 1+3 분할을 적용한다.
• 파동함수 $\psi \in \Psi$에 대해 보른 규칙을 적용하여 입자의 국소화와 운동량에 대한 확률 진폭으로 해석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 곡면 시공간에서의 양자장론에서 점입자를 위한 일관된 양자역학을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 일반 시공간에서 표준 양자역학적 연산자(위치와 운동량)에 대한 상대론적 보정은 무엇인가?
• RQ3 위치와 운동량 연산자가 언제 가환성을 띠며, 언제 비가환성을 띠는가?
• RQ4 이 프레임워크에서 이론적 파동함수의 보른 확률적 해석은 곡면 시공간으로 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 이 구성은 어떤 근사에서 표준 비상대론적 양자역학으로 축소되는가?

주요 결과

• 유도된 양자역학은 일반 좌표 불변이며, 곡면 시공간에서 QFT의 폴크 표현에 기반한다.
• 슈뢰딩거 방정식의 해밀토니안은 점 渐진적으로 헤르미트이며, $c^{-1}$ 전개에서 시간에 따른 유니타리 진동을 보장한다.
• QFT 관측량에서 유도된 운동량 및 위치 연산자는 상대론적 보정을 포함하며 일반적으로 비가환성을 띤다.
• 좌표와 운동량 연산자의 비가환성은 $c^{-1} = 0$ (비상대론적 근사) 또는 민코프스키 시공간에서 데카르트 좌표계를 사용할 경우를 제외하고는 모든 시공간에서 나타난다.
• 이 프레임워크는 $\Psi$의 파동함수에 보른 규칙를 적용하여 곡면 시공간에서 QFT의 입자 해석을 제공한다.
• 이 접근법은 시공간 곡률과 상대론적 효과를 직접적으로 연산자 대수에 통합함으로써 표준 캐논ical 양자화를 일반화한다.