[논문 리뷰] Quantum mechanics is the square root of a stochastic process

Marco Frasca|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 24.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자역학이 확률과정의 제곱근으로서 나타나며, 특히 빈자리(브라운 운동) 과정과 대칭 이항분포 과정(동전 던지기)의 조합임을 제안한다. 이토 미적분학을 분수계수의 확률미분에 일반화함으로써, 복소수 확산과정에서 슈뢰딩거 방정식을 유도하며, 파동함수가 고전적 확률과정의 제곱근으로 자연스럽게 유도됨을 보여, 양자역학에 대한 새로운 확률적 기반을 제공한다.

ABSTRACT

We prove a theorem showing that quantum mechanics is not directly a stochastic process characterizing Brownian motion but rather its square root. This implies that a complex-valued stochastic process is involved. Schrödinger equation is immediately derived without further assumptions using Itō integrals that are properly generalized. Fluctuations in space arise from a Brownian motion and the combined effect of a stochastic process with a symmetric Bernoulli distribution typical of tossing a coin.

연구 동기 및 목표

• 양자역학과 고전적 확률과정 사이의 수학적 기반을 구축하기 위해.
• 양자역학의 배경이 되는 고전적 확률과정이 존재하지 않는다는 오랫동안 지속된 반론을 해결하기 위해.
• 슈뢰딩거 방정식이 빈자리 과정과 이항분포 과정의 조합으로서의 제곱근 과정에서 자연스럽게 유도됨을 보여주기 위해.
• 이토 미적분학을 정수계수가 아닌 스크류미분의 거듭제곱에 일반화하여, 특히 (dW)^{1/2}를 다룰 수 있도록 하기 위해.
• 파동함수가 영측도 성분을 가진 확률과정에서 유도된 복소수 확률분포와 수학적으로 동치임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 빈자리 증분의 비정수계수, 예를 들어 (dW)^{1/2}의 일반화된 이토 적분을 정규화 기법을 사용하여 루트 평균 제곱 수렴을 보장하도록 정의한다.
• 빈자리 증분 dW를 sign(dW)와 |dW|로 분해하며, 이토 미적분학에서 sign(dW)는 영측도 과정으로 간주하지만, |dW|와의 곱이 비자명한 결과를 낳도록 허용한다.
• 이항분포 과정(동전 던지기)을 기본적인 확률적 구성요소로 도입하여, 브라운 운동과 결합함으로써 파동함수의 복소수 성격을 유도한다.
• 스토케스 확산과정에 제곱근 연산을 적용함으로써 슈뢰딩거 방정식을 유도하며, [dX(t)]^2 가 허수단위 i에 비례하는 항을 낳음을 보여준다.
• dX(t) = [dW(t) + V(X,t)dt]^{1/2}로 일반화된 확률과정을 도입함으로써, 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식과 일치하는 수정된 확산방정식을 도출한다.
• 빈자리 증분의 절대값에 기인한 발산하는 리만 합을 다루기 위해 제타함수 합산과 같은 정규화 방법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가적인 가정 없이도 슈뢰딩거 방정식을 고전적 확률과정으로부터 도출할 수 있는가?
• RQ2 (dW)^{1/2}의 수학적 성격은 확률미적분학의 맥락에서 어떻게 되며, 잘 정의된 극한을 갖는가?
• RQ3 이항분포 과정(동전 던지기)의 포함이 실수값 확산을 복소수값 양자진화로 전환시키는 방식은 무엇인가?
• RQ4 빈자리 과정의 제곱근이 시간 진화와 잠재력 항을 포함한 양자역학의 전체적인 구조를 재현할 수 있는가?
• RQ5 그라베르, 하앵기, 탈크너(GHT)가 제기한 고전적 마스터방정식이 양자 전이 확률을 재현하지 못한다는 반론을 이 공식화는 피할 수 있는가?

주요 결과

• 추가적인 가정 없이도 빈자리 과정과 대칭 이항분포 과정을 포함한 확률과정의 제곱근으로서 슈뢰딩거 방정식이 도출된다.
• 파동함수는 실수 확률과정의 제곱근으로서 자연스럽게 유도되는 복소수 확률진폭으로 나타나며, 허수단위 i는 이항분포 과정의 위상 구조에서 유래한다.
• 제곱근 과정 [dW]^{1/2}는 복소수 확산계수를 가진 확산방정식을 유도하며, 이는 ∂ψ/∂t = -i(1/4)∂²ψ/∂X² + ... 의 형태로 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.
• 정규화를 통해, 예를 들어 ζ(0) = -1/2 를 사용하여 |dW|의 발산하는 리만 합을 다룰 수 있도록 (dW)^{1/2}의 일반화된 이토 적분이 잘 정의된다.
• dX(t) = [dW(t) + V(X,t)dt]^{1/2}로 정의된 확률과정에 잠재력 V(X,t)를 포함함으로써 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식이 도출되며, 이는 상호작용 시스템과의 일致성을 확인한다.
• GHT 반론을 피하기 위해, 포켈-플랑크 연산자가 슈뢰딩거 연산자로 축소됨을 보여, 정확한 양자 전이 확률이 유지됨을 입증한다.