[논문 리뷰] Quantum-optical states in finite-dimensional Hilbert space. I. General formalism

Adam Miranowicz, W. Leoński외 1명|ArXiv.org|2001. 08. 16.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한차원(Hilbert) 공간에서 양자광학 상태를 구성하기 위한 일반적인 체계를 제안한다. 두 가지 접근 방식을 사용한다: 일반화된 코herent 상태(GCS)와 잘라낸 코herent 상태(TCS). 이는 이산 위그너 함수와 헤르미트 다항식의 근을 기반으로 한 새로운 분석 방법을 활용하여 FD 코herent 상태의 정확한 계수를 유도한다. 그 결과, TCS가 무한차원 극한에서 전통적인 Glauber 코herent 상태로 수렴하는 속도가 GCS보다 빠르다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The interest in quantum-optical states confined in finite-dimensional Hilbert spaces has recently been stimulated by the progress in quantum computing, quantum-optical state preparation, and measurement techniques, in particular, by the development of the discrete quantum-state tomography. In the first part of our review we present two essentially different approaches to define harmonic oscillator states in the finite-dimensional Hilbert spaces. One of them is related to the truncation scheme of Pegg, Phillips and Barnett [Phys. Rev. Lett. 81, 1604 (1998)] -- the so-called quantum scissors device. The second method corresponds to the truncation scheme of Leoński and Tanaś [Phys. Rev. A 49, R20 (1994)]. We propose some new definitions of the states related to these truncation schemes and find their explicit forms in the Fock representation. We discuss finite-dimensional generalizations of coherent states, phase coherent states, displaced number states, Schrödinger cats, and squeezed vacuum. We show some intriguing properties of the states with the help of the discrete Wigner function.

연구 동기 및 목표

• 유한차원 힐베르트 공간에서 양자광학 상태를 구성하기 위한 통합된 체계를 개발한다.
• 유한차원 시스템에서 일반화된 코herent 상태(GCS)와 잘라낸 코herent 상태(TCS)의 차이를 명확히 한다.
• Bużek 등이 제기한 문제를 해결하기 위해, FD 코herent 상태의 계수에 대한 분석적 해를 제공한다.
• 무한차원 극한을 취하기 전에 유한차원에서 상태를 분석함으로써, Pegg-Barnett 위상 체계에 대한 깊은 이해를 가능하게 한다.
• FD 양자 상태의 직관적 이해를 위해 이산 수량-위상 위그너 함수의 그래픽적 표현을 제시한다.

제안 방법

• 홀수차원 시스템을 위한 Wootters의 구성 기반의 이산 위그너 함수 체계를 일반화하여 유한차원 힐베르트 공간에 적용한다.
• Baker-Hausdorff 공식에서 유도된 계수 $ d^{(s)}_{nk} $ 를 위한 재귀관계를 사용하며, FD 시스템에서의 비-상수 교환자(commutator)에 적응시킨다.
• 헤르미트 다항식 $ He_{s+1}(x) $ 의 근을 사용하여 Fock 표현 계수 $ b^{(s)}_n $ 에 대한 분석적 해를 도출하며, 식 (A.7)에 기술되어 있다.
• 유도된 계수 공식을 사용하여 FD 공간에서 이동 연산자를 통해 일반화된 및 잘라낸 코herent 상태를 구성한다.
• 참고문헌 [18] 의 방법을 활용하여 위상과 세기 의존성을 갖는 Fock 기저에서의 코herent 상태를 표현한다.
• 이산 수량-위상 위그너 함수의 그래픽적 표현을 생성하여 상태의 성질과 행동을 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 힐베르트 공간에서 일반화된 코herent 상태와 잘라낸 코herent 상태는 이동 파arameter에 대해 어떻게 다를가?
• RQ2 유한차원 코herent 상태의 Fock 표현 계수의 분석적 구조는 무엇이며, 무한차원 극한으로 수렴하는 방식은 어떠한가?
• RQ3 무한차원 극한인 $ s \to \infty $ 에서 일반화된 코herent 상태와 잘라낸 코herent 상태가 전통적인 Glauber 코herent 상태로 수렴하는 속도는 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이산 위그너 함수는 FD 양자광학 상태의 위상 및 수량 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 무한차원 극한을 취하기 전에 유한차원 상태 분석을 통해 Pegg-Barnett 위상 체계는 어떻게 더 잘 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한한 $ s $ 에 대해 잘라낸 코herent 상태(TCS)는 비주기적이고, 일반화된 코herent 상태(GCS)는 주기적($ s=1,2 $) 또는 준주기적(고차수 $ s $)이다.
• 일반화된 코herent 상태와 잘라낸 코herent 상태 모두 $ s \to \infty $ 극한에서 전통적인 Glauber 코herent 상태로 수렴한다.
• 잘라낸 코herent 상태는 일반화된 코herent 상태보다 전통적인 Glauber 코herent 상태로 수렴하는 속도가 더 빠르다.
• BuŻek 등이 제기한 문제를 해결하기 위해, $ He_{s+1}(x) $ 의 근을 사용하여 계수 $ b^{(s)}_n $ 에 대한 닫힌 형태의 해를 도출하였다.
• 이산 위그너 함수는 슈뢰딩거 고양이 상태나 압축된 진공 상태를 포함한 FD 양자광학 상태의 수량-위상 성질을 직관적으로 시각화한다.
• 이 방법은 유한차원 이동 및 압축 연산자를 통해 이동된 수량 상태, 위상 일관 상태, 짝수/홀수 코herent 상태 등 다양한 FD 상태를 명시적으로 구성할 수 있게 한다.