[논문 리뷰] Quantum Optical Version of Classical Optical Transformations and Beyond

Hong-Yi Fan, Liyun Hu|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 03.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 IWOP 기법과 얽힌 상태를 이용해 고전 광학 변환의 양자 광학적 프레임워크를 수립하며, 프레넬, 분수 푸리에, 웨이블릿 변환과 같은 변환에 대응하는 유니터리 연산자를 규명한다. 새로운 양자역학적 표현을 도출하고, 얽힌 프레넬 변환과 심플렉틱 웨이블릿 변환과 같은 새로운 고전 변환을 발견함으로써, 디랙의 기호적 방법을 통해 양자광학과 고전광학을 통합한다.

ABSTRACT

By the newly developed technique of integration within an ordered product (IWOP) of operators, we explore quantum optical version of classical optical transformations such as optical Fresnel transform, Hankel transform, fractional Fourier transform, Wigner transform, wavelet transform and Fresnel-Hadmard combinatorial transform etc. In this way one may gain benefit for developing classical optics theory from the research in quantum optics, or vice-versa. We can not only find some new quantum mechanical unitary operators which correspond to the known optical transformations, deriving a new theorem for calculating quantum tomogram of density operators, but also can reveal some new classical optical transformations. We derive GFO's normal product form and its canonical coherent state representation and find that GFO is the loyal representation of symplectic group multiplication rule. We show that GFT is just the transformation matrix element of GFO in the coordinate representation such that two successive GFTs is still a GFT. The ABCD rule of the Gaussian beam propagation is directly demonstrated in the context of quantum optics. Especially, the introduction of quantum mechanical entangled state representations opens up a new area to finding new classical optical transformations. The complex wavelet transform and the condition of mother wavelet are studied in the context of quantum optics too. Throughout our discussions, the coherent state, the entangled state representation of the two-mode squeezing operators and the IWOP technique are fully used. All these confirms Dirac's assertion: " ... for a quantum dynamic system that has a classical analogue, unitary transformation in the quantum theory is the analogue of contact transformation in the classical theory".

연구 동기 및 목표

• 디랙의 기호적 방법을 사용하여 고전 광학 변환을 단순히 유니터리 양자광학 연산자로 매핑하는 체계적 접근.
• 프레넬, 분수 푸리에, 웨이블릿 변환과 같은 고전 변환을 위한 양자역학적 기반 구축.
• 특히 얽힌 상태 표현을 사용하여, 양자광학 형식을 통해 새로운 고전 광학 변환을 발견하는 것.
• 일반화된 프레넬 연산자를 사용하여 양자광학 내에서 가우시안 빔 전파의 ABCD 법칙을 직접적으로 나타내는 것.
• 양자광학 변환을 통해 자코비안 위상의 양자 토모그라피와 확률 분포의 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• 정렬된 곱 안에서의 적분(IWOP) 기법을 사용하여 양자 연산자의 정규순서 형태와 완전성 관계를 도출.
• 코herent 상태와 연속 변수의 이중모드 얽힌 상태를 표현 기저로 사용하여 고전 변환의 양자광학적 형태 유도.
• 일반화된 프레넬 연산자(GFO)를 구성하여 심플렉틱 군의 충실한 표현으로 삼아, 양자광학에서 ABCD 법칙 유도 가능.
• GFO를 적용하여 복소 분수 푸리에 변환, 복소 웨이블릿 변환, 심플렉틱 웨이블릿 변환과 같은 새로운 변환 도출.
• 얽힌 상태 표현을 사용하여 새로운 고전 변환을 드러내며, 특히 얽힌 프레넬 변환과 프레넬-하다마르드 조합 변환 발견.
• 양자광학적 맥락에서 어머니 웨이블릿의 역행 공식, 파르세발 정리, 직교성 성질 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프레넬 및 분수 푸리에 변환과 같은 고전 광학 변환은 양자광학에서 어떻게 유니터리 연산자로 표현될 수 있는가?
• RQ2 특히 얽힌 상태를 사용할 때, 양자광학 형식에서 어떤 새로운 고전 광학 변환이 도출되는가?
• RQ3 IWOP 기법은 양자 표현의 정규순서 형태와 완전성 관계를 유도하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ4 일반화된 프레넬 연산자를 사용하여 양자역학적 원리로부터 직접적으로 가우시안 빔 전파의 ABCD 법칙을 도출할 수 있는가?
• RQ5 복소 웨이블릿 및 심플렉틱 웨이블릿 변환의 양자역학적 해석은 무엇이며, 위그너 및 허시미 분포와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 일반화된 프레넬 연산자(GFO)는 심플렉틱 군의 유니터리 표현으로 도출되었으며, IWOP 기법을 통해 정규순서 형태 확보.
• GFO를 사용하여 양자광학 내에서 가우시안 빔 전파의 ABCD 법칙을 직접적으로 입증함으로써 물리적 일관성 확인.
• 얽힌 상태 표현을 통해 새로운 고전 광학 변환인 얽힌 프레넬 변환과 프레넬-하다마르드 조합 변환이 발견됨.
• 복소 분수 푸리에 변환과 그의 가환성 성질이 양자 영역에서 확립되었으며, 양자역학적 방법으로 고유모드 도출.
• 밀도 연산자의 양자 토모그램을 계산하는 데 사용할 수 있는 새로운 정리 유도. 이는 위그너 함수의 라돈 변환과 프레넬 변환 간의 연결 고리 제공.
• 웨이블릿 변환에서 어머니 웨이블릿의 조건이 양자광학에서 재구성되었으며, IWOP 기법을 사용하여 매개변수 공간에서의 직교성 성질 증명함.