[논문 리뷰] Quantum Ordered Binary Decision Diagrams with Repeated Tests

Matthias Homeister, Stephan Waack|ArXiv.org|2005. 07. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반복적인 변수 테스트를 허용하는 양자 순서형 이진결정다이어그램(QOBDD)을 조사하며, 이러한 모델이 다항 크기의 k-QOBDD(여기서 k ≥ 1)를 다항 크기의 표준 QOBDD로 시뮬레이션할 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 텐서 곱 상태와 유니터리 변환을 사용한 구조적 시뮬레이션 방법으로, 반복 테스트가 이미 다항 크기의 QOBDD가 달성할 수 있는 계산 능력 이외의 능력을 증가시키지 않는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Quantum branching programs (quantum binary decision diagrams, respectively) are a convenient tool for examining quantum computations using only a logarithmic amount of space. Recently several types of restricted quantum branching programs have been considered, e. g. read--once quantum branching programs. This paper considers quantum ordered binary decision diagrams (QOBDDs) and answers the question: How does the computational power of QOBDDs increase, if we allow repeated tests. Additionally it is described how to synthesize QOBDDs according to Boolean operations.

연구 동기 및 목표

• 반복적인 변수 테스트를 허용할 경우 양자 순서형 이진결정다이어그램(QOBDD)의 계산 능력이 어떻게 증가하는지 조사하는 것.
• QOBDD에서 반복 테스트가 표준 QOBDD가 다룰 수 없는 함수의 계산을 가능하게 하는지 여부를 규명하는 것.
• 다항 크기의 오차를 허용하는 표준 QOBDD를 사용하여 k-QOBDD를 시뮬레이션하는 구조적 방법을 개발하는 것.
• 특히 양자 복잡도 클래스와의 관계에서 반복 테스트 하에 QOBDD의 표현 능력에 대한 이론적 한계를 설정하는 것.
• 불린 연산을 통한 QOBDD 합성 프레임워크를 제공하여 양자 결정다이어그램의 실용적 구축을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 각 구성 요소가 별개의 QOBDD 계산 경로를 나타내는 너비 w^k인 텐서 곱 공간을 사용하여 k-QOBDD를 시뮬레이션한다.
• 모든 가능한 k-QOBDD의 초기 상태, 특히 기각과 수용를 위한 보조 상태 |t₀⟩ 및 |t₁⟩를 포함한 초기 상태의 양자 중첩을 준비하는 유니터리 변환 V를 정의한다.
• 입력 a에 대해 k개의 독립적인 QOBDD의 공동 진화를 시뮬레이션하기 위해 Uᵢ(a) = U₁(a) ⊗ … ⊗ Uₖ(a) 형태의 텐서 곱 유니터리 연산을 사용한다.
• 상태 공간 D′ = D⊗ ∪ {|t₀⟩, |t₁⟩}를 갖는 새로운 QOBDD ℬ′을 정의한다. 여기서 D⊗은 원래 상태 공간의 k개 복제본의 텐서 곱을 의미한다.
• D⊗에서 Tᵢ^ε로 작용하고 {|t₀⟩, |t₁⟩}에서 항등 연산으로 작용하는 단위 변환 T′ᵢ^ε를 구성하여 원래 QOBDD의 구조를 유지한다.
• 최종 상태 진폭 |ψₗ(a)⟩ = T′^εₗₗ … T′^ε₁₁ V |1…1⟩를 사용하여 수용 상태 F′와의 내적을 통해 수용 확률을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 QOBDD에서 반복 테스트를 허용할 경우 표준 QOBDD에 비해 계산 능력이 크게 증가하는가?
• RQ2 임의의 고정된 k ≥ 1에 대해 다항 크기의 QOBDD가 비한정 오차를 허용하는 k-QOBDD를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ3 k-QOBDD의 수용 확률과 그 시뮬레이션된 QOBDD의 수용 확률 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유니터리 변환과 중첩 상태를 어떻게 활용하여 단일 QOBDD 프레임워크 내에서 다수의 QOBDD 경로를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ5 다중 독립 QOBDD의 행동을 유지하는 조건에서 텐서 곱 상태를 사용하여 QOBDD를 구조적으로 합성할 수 있는 방법이 존재하는가?

주요 결과

• 비한정 오차를 허용하는 다항 크기의 k-QOBDD로 계산 가능한 불린 함수의 임의의 시퀀스는 다항 크기의 표준 QOBDD로도 계산 가능하다.
• 시뮬레이션된 QOBDD ℬ′의 수용 확률은 acc_{ℬ′}(a) = (1/(2m)) Σ_{j∈F} |β_j(a)|² + (2m−1)/(4m)로 주어지며, 여기서 m = w^{k−1}이다.
• 만약 k-QOBDD가 입력 a를 최소 1/2의 확률로 수용한다면, 시뮬레이션된 QOBDD ℬ′ 역시 최소 1/2의 확률로 이를 수용한다.
• 이 시뮬레이션은 k개의 독립 QOBDD의 모든 가능한 초기 구성 상태의 중첩을 사용하여 단일 QOBDD 내에서 병렬 계산을 가능하게 한다.
• 이 구성은 모든 계산 경로에서 단위성과 진폭 구조를 유지하여 측정 시에도 정확성을 유지한다.
• 결과적으로 반복 테스트는 표준 QOBDD가 다항 크기로 달성할 수 있는 계산 능력 이외의 능력을 확장하지 않는다는 것을 시사한다.