[논문 리뷰] Quantum Parrondo's games using quantum walks

Adrian P. Flitney|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일차원 양자 산책을 사용하여 파라소의 역설의 양자 버전을 제안한다. 여기서 두 개의 편향된 양자 동전 연산자(A 및 B)는 각각 부정적인 이동을 유도하지만, 번갈아 적용될 경우 잠재적인 간섭에 의해 일시적인 양의 이동이 발생한다. 핵심 결과는 유한한 시간 단계 동안 관찰 가능한 일시적인 양자 파라소 효과이다. 이후 원래의 편향이 다시 나타난다.

ABSTRACT

We study a quantum walk in one-dimension using two different "coin" operators. By mixing two operators, both of which give a biased walk with negative expectation value for the walker position, it is possible to reverse the bias through interference effects. This effect is analogous to that in Parrondo's games, where alternating two losing (gambling) games can produce a winning game. The walker bias is produced by introducing a phase factor into the coin operator, with two different phase factors giving games $A$ and $B$. We give the range of phases for which the Parrondo effect can be obtained with $A$ and $B$ played alternately or in other (repeated) deterministic sequences. The effect is transitory. For sufficiently large times the original bias resumes.

연구 동기 및 목표

• 양자 산책에서의 양자 간섭이 두 개의 지배적인 게임이 조합될 경우 일시적인 파라소 효과를 유도할 수 있는지 탐색한다.
• 이산 시간 양자 산책 프레임워크에서 단계 이동을 갖춘 동전 연산자를 사용하여 양자 파라소의 게임을 모델링한다.
• 반복적인 순서(예: AB, ABB, ABBB)를 적용했을 때 보행자 위치의 기대값이 양수가 되는 두 개의 양자 동전 연산자에서의 단계 인자 범위를 규명한다.
• 보행자 위치의 시간에 따른 역학을 분석하고, 효과의 일시성 특성을 규명한다.

제안 방법

• 상태 |L⟩ 및 |R⟩를 갖는 동전 힐베르트 공간과 상태 |x⟩를 갖는 위치 힐베르트 공간을 사용하여 일차원 격자 위의 이산 시간 양자 산책을 모델링한다.
• 단계 인자 α와 β를 갖는 두 개의 양자 동전 연산자 Â(α)와 ˆB(β)를 정의한다. 여기서 ρ = 1/2는 비편향된 동전 작동을 보장하며, α, β ∈ [−π/2, π/2]는 편향의 방향을 제어한다.
• 각 단계에서 보행자 상태를 갱신하기 위해 유니터리 진화 연산자 Û = (Ŝ ⊗ P_R + Ŝ⁻¹ ⊗ P_L)(I_P ⊗ Û_coin)를 사용한다. 여기서 Ŝ는 편극성에 따라 위치를 이동시킨다.
• 대칭적 역학을 보장하고 표준 하다드 산책과의 비교를 가능하게 하기 위해, 시스템을 |ψ₀⟩ = (|0,L⟩ − |0,R⟩)/√2로 초기화한다.
• 반복적인 순서(예: AB, ABB, ABBB)를 n단계 동안 적용하고, |ψ_f⟩ = (B̂ ⊗ Â)^n |ψ_i⟩를 통해 상태를 진화시킨다.
• 시간에 따른 보행자 위치의 기대값 ⟨x⟩을 계산하고, 그 부호와 진동 행동을 분석하여 일시적인 파라소 효과를 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 각각 단독으로 손해를 보이는 두 개의 양자 산책이, 동전 연산자에서 단계 인자를 통해 편향된 상태에서 번갈아 적용될 경우 일시적인 승리 결과를 낳을 수 있는가?
• RQ2 동전 연산자 Â와 ˆB에서 단계 인자 α와 β가 어떤 특정 범위일 경우 반복적인 순서에서 보행자 위치의 기대값이 양수가 되는가?
• RQ3 양자 파라소 효과의 일시성 특성이 ⟨x⟩의 시간 진동에서 어떻게 나타나며, 승리 행동은 얼마나 오랫동안 지속되는가?
• RQ4 기대값의 진동 패턴과 감쇠는 순서(예: AB 대 ABB 대 ABBB)와 단계 인자의 선택에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 일시적인 양자 파라소 효과는 α와 β의 특정 매개변수 범위에서만 관찰되며, AB, ABB, ABBB 순서에서 100단계 후에 양의 ⟨x⟩를 보인다.
• α = β일 경우 시스템은 ⟨x⟩ ≈ −15.0 sin α (t = 50일 때) 및 ⟨x⟩ ≈ −29.6 sin α (t = 100일 때)를 갖는 단일 편향 산책으로 행동하여 손해 게임임을 확인한다.
• AB, ABB, ABBB와 같은 순서는 일부 α, β 값에서 양의 ⟨x⟩를 유도하여 양자 간섭에 의한 승리 결과를 나타내지만, 이는 일정한 시간 단계 동안만 유효하다.
• 기대값 ⟨x⟩는 하향 경향 위에 진동 행동을 보이며, 진동의 진폭과 주기는 순서 길이가 길어질수록 증가한다 (AB → ABB → ABBB).
• 충분히 큰 t에 도달하면 모든 순서가 결국 음의 ⟨x⟩로 되돌아가며, 이는 효과의 일시성 특성을 확인한다.
• α를 감소시키면 ⟨x⟩의 하향 경향이 감소하고, β를 감소시키면 진동 주기가 증가하여 단계 인자를 통해 일시적 역학을 제어할 수 있음을 나타낸다.