[논문 리뷰] Quantum Pascal's Triangle and Sierpinski's carpet

Tom Bannink, Harry Buhrman|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 24.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하다르드 양자 산책을 사용하여 파스칼의 삼각형의 양자 버전을 도입하며, 확률 진폭을 정수로 스케일링하고 3으로 모듈로 연산을 적용할 때 세르프스키 카펫 프랙탈이 나타남을 보여준다. 저자들은 루카스의 정리를 사용하여 이를 증명하고 이 현상을 특정 양자 산책의 클래스로 일반화하여 고전적 파스칼의 삼각형에 존재하지 않는 새로운 프랙탈 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper we consider a quantum version of Pascal's triangle. Pascal's triangle is a well-known triangular array of numbers and when these numbers are plotted modulo 2, a fractal known as the Sierpinski triangle appears. We first prove the appearance of more general fractals when Pascal's triangle is considered modulo prime powers. The numbers in Pascal's triangle can be obtained by scaling the probabilities of the simple symmetric random walk on the line. In this paper we consider a quantum version of Pascal's triangle by replacing the random walk by the quantum walk known as the Hadamard walk. We show that when the amplitudes of the Hadamard walk are scaled to become integers and plotted modulo three, a fractal known as the Sierpinski carpet emerges and we provide a proof of this using Lucas's theorem. We furthermore give a general class of quantum walks for which this phenomenon occurs.

연구 동기 및 목표

• 양자 산책, 특히 하드르드 산책을 사용하여 파스칼의 삼각형의 양자 버전을 탐색한다.
• 소수의 거듭제곱으로 확률 진폭을 모듈로 연산할 때 나타나는 프랙탈 구조를 조사한다.
• 모듈로 3에서 하드르드 산책의 진폭에서 세르프스키 카펫 프랙탈이 나타남을 증명한다.
• 하드르드 산책을 초월한 특정 양자 산책의 클래스로 프랙탈의 출현을 일반화한다.
• 루카스의 정리를 통해 양자 산책의 진폭과 수론적 성질 사이의 연결을 설정한다.

제안 방법

• 하드르드 행렬을 사용한 동전 뒤집기 연산과 이동 연산을 사용하여 1차원 직선 위의 하드르드 양자 산책을 모델링한다.
• 이동 연산 $ S $ 와 하드르드 동전 $ H $ 를 사용하여 유니터리 연산자 $ U = S(I \otimes H) $ 를 유도한다.
• H 를 $ \sqrt{2}H $ 로 대체하여 진폭을 정수로 스케일링함으로써 정수 값을 갖는 진폭을 얻는다.
• 스케일링된 진폭에 대해 모듈로 3 연산을 적용하여 프랙탈 패턴을 드러낸다.
• 루카스의 정리를 사용하여 모듈로 3로 줄였을 때 결과 패턴이 세르프스키 카펫임을 엄밀히 증명한다.
• 진폭 삼각형의 대각선을 분석하여 재귀 관계를 유도하고 프랙탈 자기유사성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률 진폭을 소수로 모듈로 연산할 때, 양자 산책의 파스칼의 삼각형 유사체가 프랙탈 구조를 생성하는가?
• RQ2 왜 하드르드 산책의 진폭에서 모듈로 3일 때 세르프스키 카펫이 나타나며, 고전적 파스칼의 삼각형에서는 나타나지 않는가?
• RQ3 루카스의 정리를 사용하여 양자 산책 진폭에서 프랙탈의 출현을 증명할 수 있는가?
• RQ4 어떤 일반적인 양자 산책의 클래스가 진폭을 모듈로 연산했을 때 프랙탈 패턴을 생성하는가?
• RQ5 양자 산책 삼각형의 대각선의 재귀 관계는 고전적 파스칼의 삼각형의 것과 어떻게 다른가?

주요 결과

• 하드르드 산책의 진폭을 정수로 스케일링하고 모듈로 3로 줄였을 때 세르프스키 카펫 프랙탈이 나타난다.
• 세르프스키 카펫의 출현은 루카스의 정리를 사용하여 엄밀히 증명되어 프랙탈 패턴의 수론적 기초를 확립한다.
• 파스칼의 삼각형을 소수의 거듭제곱으로 모듈로 연산할 경우, 기존의 결과를 넘어서 더 일반적인 프랙탈이 나타나며, 이를 확장한다.
• 스케일링된 양자 산책 삼각형의 각 행의 모든 진폭의 합은 항상 2의 거듭제곱이며, 파스칼의 삼각형과 유사한 구조적 성질을 유지한다.
• 양자 산책 진폭 삼각형의 대각선은 선형 재귀 관계를 만족하며, 빨간색과 파란색 성분에 대해 서로 다른 초기 조건을 가지며, 이로 인해 프랙탈 자기유사성이 발생한다.
• 모듈로 연산을 통한 프랙탈 출현 현상이 나타나는 특정 양자 산책의 일반 클래스를 규명하였다.