[논문 리뷰] Quantum Randomness and Nondeterminism

Emanuel Knill|ArXiv.org|1996. 10. 09.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 양자 계산에서의 양자 랜덤성과 비결정성에 대해 연구하며, 표준 양자 랜덤 소스가 계산 능력을 향상시키지 못함을 보여준다. 그러나 비결정적 선택이 고전적 비트 문자열 대신 양자 상태인 총합 양자 비결정성(total quantum nondeterminism)을 제안함으로써, 고전적 비결정성보다 더 풍부한 복잡도 구조를 드러내며, 양자 상태 복잡도와 측정 유도 비결정성의 능력에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

Does the notion of a quantum randomized or nondeterministic algorithm make sense, and if so, does quantum randomness or nondeterminism add power? Although reasonable quantum random sources do not add computational power, the discussion of quantum randomness naturally leads to several definitions of the complexity of quantum states. Unlike classical string complexity, both deterministic and nondeterministic quantum state complexities are interesting. A notion of \emph{total quantum nondeterminism} is introduced for decision problems. This notion may be a proper extension of classical nondeterminism.

연구 동기 및 목표

• 양자 랜덤성 또는 비결정성이 고전적 확률적 계산을 초월해 계산 능력을 향상시키는지 여부를 검토하기.
• 특히 특정 양자 상태를 준비하고 근사화하는 데 드는 어려움을 고려하여 양자 상태 복잡도를 정의하고 분석하기.
• 비결정적 선택이 고전적 비트 문자열이 아닌 양자 상태인 총합 양자 비결정성 개념을 도입하고 평가하기.
• 양자 알고리즘에서 측정에 의해 유도되는 비결정성이 고전적 비결정성 초월해 본질적으로 새로운 계산 자원을 제공하는지 조사하기.
• 결정 문제와 양자 알고리즘 맥락에서 고전적 비결정성과 양자 비결정성의 개념을 비교하기.

제안 방법

• 고전적 프로그램과 양자 상태 입력을 갖는 양자 무작위 액세스 머신(QRAM) 모델을 사용하여 양자 계산을 체계화하기.
• 힐베르트 구면 상의 균일 분포를 통해 양자 랜덤성을 분석하며, 그 통계적 효과가 n개의 고전적 동전 던지기와 구분 불가능함을 보임.
• 오라클을 통해 동일한 랜덤 양자 상태에 반복적으로 액세스함으로써 k중 텐서 곱의 구조와 블록 대각형 밀도 행렬을 유도함.
• 목표 양자 상태를 주어진 초기 상태에서 준비하는 데 필요한 최소 자원(프로그램 길이, 시간, 연산 수)을 고려하여 양자 상태 복잡도를 정의함.
• 비결정적 입력 y가 고전적 비트 문자열이 아닌 양자 상태일 수 있도록 허용함으로써 총합 양자 비결정성을 제안함.
• 이러한 모델을 시뮬레이션하는 계산 비용을 평가하며, 상태 공간 전반에 걸친 완전 탐색에 지수 시간이 소요됨을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐베르트 구면 상의 균일한 랜덤 상태에 액세스하는 것으로 정의되는 양자 랜덤성이 고전적 랜덤성보다 추가적인 계산 능력을 제공하는가?
• RQ2 임의의 양자 상태를 준비하는 데 드는 어려움을 양자 상태 복잡도의 개념으로 체계화할 수 있으며, 이는 고전적 콜모고로프 복잡도와 어떻게 다를까?
• RQ3 비결정적 선택이 고전적 문자열 대신 양자 상태인 고전적 비결정성의 의미 있는 확장이 존재하는가?
• RQ4 양자 알고리즘에서 측정에 의해 유도되는 비결정성은 프로그램 내 고전적 선택으로 시뮬레이션 가능한가, 아니면 본질적으로 새로운 자원인가?
• RQ5 총합 양자 비결정성을 구현하는 데 드는 계산 비용은 얼마이며, 다항 시간 복잡도 클래스 내에서 실현 가능한가?

주요 결과

• 힐베르트 구면 상의 균일한 랜덤 상태로 정의되는 표준 양자 랜덤 소스는 통계적 효과가 n개의 고전적 동전 던지기와 구분 불가능하므로 계산 능력을 향상시키지 못함.
• 균일하게 랜덤한 n 큐비트 상태의 밀도 행렬은 항등행렬에 비례하며, 이는 n개의 고전적 공정한 동전 던지기의 결과와 일치함.
• 힐베르트 공간의 이중 지수적 부피로 인해 n 큐비트의 대부분의 양자 상태는 국소 유니터리 연산의 지수적 수를 필요로 하여 근사화함.
• 비결정적 입력이 양자 상태인 총합 양자 비결정성은 상태 공간 전반에 걸친 완전 탐색을 통해 시뮬레이션할 경우 지수 시간이 소요되며, 이는 주로 지수적 복잡도 클래스와 관련됨.
• 총합 양자 비결정성의 개념은 고전적 선택으로 시뮬레이션하기 어려운 본질적으로 새로운 비결정성 자원일 수 있으며, 상당한 자원 오버헤드 없이 구현되지 않을 수 있음.
• 측정에 의해 유도되는 비결정성은 고전적 비결정성으로 시뮬레이션하기 어려울 수 있으며, 이는 양자 알고리즘에서 양자적 선택과 고전적 선택의 능력 사이에 본질적인 차이가 있음을 시사함.