[논문 리뷰] Quantum Recommendation Systems

Iordanis Kerenidis, Anupam Prakash|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 29.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 83

한 줄 요약

이 논문은 선호도 행렬의 저랭크 근사에서 샘플링하는 방식으로 행렬 차원에 대해 다항로그 시간 복잡도를 달성하는 양자 추천 시스템을 제시한다. 주요 기여는 $ O(\text{poly}(k)\text{polylog}(mn)) $ 예상 실행 시간을 가지며 높은 확률로 고품질의 추천을 제공하는 양자 알고리즘을 개발한 것으로, 실세계 기계학습 응용 분야에서 양자 우월성을 입증한다.

ABSTRACT

A recommendation system uses the past purchases or ratings of $n$ products by a group of $m$ users, in order to provide personalized recommendations to individual users. The information is modeled as an $m imes n$ preference matrix which is assumed to have a good rank-$k$ approximation, for a small constant $k$. In this work, we present a quantum algorithm for recommendation systems that has running time $O( ext{poly}(k) ext{polylog}(mn))$. All known classical algorithms for recommendation systems that work through reconstructing an approximation of the preference matrix run in time polynomial in the matrix dimension. Our algorithm provides good recommendations by sampling efficiently from an approximation of the preference matrix, without reconstructing the entire matrix. For this, we design an efficient quantum procedure to project a given vector onto the row space of a given matrix. This is the first algorithm for recommendation systems that runs in time polylogarithmic in the dimensions of the matrix and provides an example of a quantum machine learning algorithm for a real world application.

연구 동기 및 목표

• 행렬 차원에 대해 다항로그 시간 내에 작동하는 추천 시스템을 위한 양자 알고리즘을 개발함으로써 고전적 방법의 다항시간 장벽을 극복한다.
• 전체 재구성 없이 선호도 행렬의 저랭크 근사를 기반으로 샘플링하여 효율적인 추천을 가능하게 한다.
• 실세계 응용 분야에 적용 가능한 실용적인 양자 기계학습 알고리즘을 제공하고, 성능 보장을 명시적으로 보장한다.
• 사용자 유형과 공유 기대효용 성질을 바탕으로 선호도 행렬의 저랭크 가정을 수학적으로 정의하고 정당화한다.
• 매트릭스의 행 공간에 벡터를 효율적으로 투영하는 양자 절차를 설계하여 추천 엔진의 핵심을 형성한다.

제안 방법

• 알고리즘은 전체 행렬 재구성을 피하기 위해 선호도 행렬의 행 공간에서 샘플링하기 위해 양자 확률 증폭과 확률 추정을 사용한다.
• 양자 특이값 변환(SVT)을 사용하여 선호도 행렬의 상위 $ k $ 개 특이벡터를 나타내는 양자 상태를 구성한다.
• 사용자의 선호도 벡터를 매트릭스의 행 공간에 투영하는 양자 투영 절차를 통해 고유용도 제품의 효율적 샘플링을 가능하게 한다.
• 이 방법은 임계값 $ \sigma $를 특이값에 적용하고 오차 제어를 위한 파rameter $ \kappa $를 사용하는 절단 SVD 근사 $ \widehat{T}_{\geq\sigma,\kappa} $ 에 의존한다.
• 알고리즘은 Frobenius 노름 오차 $ \|T - \widehat{T}_{\geq\sigma,\kappa}\|_F \leq 9\epsilon\|T\|_F $ 가 되도록 매개변수를 설정하여 높은 확률로 정확한 결과를 보장한다.
• 적절한 매개변수 설정 하에, 적어도 $ (1-\xi)(1-\delta-\zeta)m $ 명의 사용자에 대해 $ O(\text{poly}(k)\text{polylog}(mn)) $ 의 실행 시간으로 제한된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사용자 선호도 행렬의 저랭크 구조를 고려할 때, 양자 알고리즘이 행렬 차원에 대해 다항시간 이하의 실행 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ2 저랭크 근사에서의 양자 샘플링이 시간 복잡도 측면에서 고전적 행렬 재구성보다 어떻게 우월한가?
• RQ3 행 공간에 대한 양자 투영이 효율적인 추천 샘플링을 가능하게 하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 양자 추천 알고리즘이 고정밀도를 유지하면서도 높은 확률로 정확한 결과를 내는 조건은 무엇인가?
• RQ5 알고리즘은 노이즈와 부분 데이터 존재 조건에서도 다항로그 실행 시간을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 추천 알고리즘은 $ O(\text{poly}(k)\text{polylog}(mn)) $ 의 예상 실행 시간을 달성하여 고전적 방법 대비 상당한 속도 향상을 보였다.
• 적어도 $ (1-\xi)(1-\delta-\zeta)m $ 명의 사용자에 대해, 추천 품질의 오차가 제한되어 있음에 따라 높은 확률로 양호한 추천을 제공한다.
• 진짜 선호도 행렬 $ T $ 와 그 근사 $ \widehat{T}_{\geq\sigma,\kappa} $ 간의 Frobenius 노름 오차는 높은 확률로 $ 9\epsilon\|T\|_F $ 이하로 제한된다.
• 양자 투영 절차는 최소 $ 1 - 1/\text{poly}(n) $ 의 확률로 매트릭스의 투영된 행에 비례하는 상태를 성공적으로 출력한다.
• 샘플링 비율 $ p $ 가 일정하고 매트릭스의 스펙트럼 성질이 잘 조절되어 있을 경우, 대부분의 사용자에 대해 예상 실행 시간은 매트릭스 크기와 무관하게 일정하다.
• 샘플링 비율이 상수 이하일 경우에도 알고리즘의 정확성은 유지되지만, 최적의 실행 시간을 확보하기 위해서는 일정한 $ p $ 가 필요하다.