[논문 리뷰] Quantum search algorithm by adiabatic evolution under a priori probability

Zhaohui Wei, Mingsheng Ying|ArXiv.org|2004. 12. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 해의 확률에 대한 사전 지식을 활용하여 런타임을 단축하는 아디아바틱 양자 검색 알고리즘을 제안한다. 이는 초기 초위상에서 해 상태의 진폭만이 진화 시간에 영향을 준다는 것을 보여주며, 초기 및 최종 해밀토니안을 인자로 스케일링하면 알고리즘의 런타임을 데이터베이스 크기와 무관한 상수로 줄일 수 있음을 입증한다. 이는 표준 그로버 알고리즘에선 관찰되지 않는 특성이다.

ABSTRACT

Grover's algorithm is one of the most important quantum algorithms, which performs the task of searching an unsorted database without a priori probability. Recently the adiabatic evolution has been used to design and reproduce quantum algorithms, including Grover's algorithm. In this paper, we show that quantum search algorithm by adiabatic evolution has two properties that conventional quantum search algorithm doesn't have. Firstly, we show that in the initial state of the algorithm only the amplitude of the basis state corresponding to the solution affects the running time of the algorithm, while other amplitudes do not. Using this property, if we know a priori probability about the location of the solution before search, we can modify the adiabatic evolution to make the algorithm faster. Secondly, we show that by a factor for the initial and finial Hamiltonians we can reduce the running time of the algorithm arbitrarily. Especially, we can reduce the running time of adiabatic search algorithm to a constant time independent of the size of the database. The second property can be extended to other adiabatic algorithms.

연구 동기 및 목표

• 사전 지식이 있는 해의 확률이 아디아바틱 양자 검색의 런타임을 어떻게 가속화할 수 있는지 조사하기 위해.
• 해밀토니안 스케일링을 통해 아디아바틱 양자 검색의 런타임을 임의로 제어할 수 있는지 분석하기 위해.
• 사전 확률 정보 유무에 따라 아디아바틱 검색의 성능를 비교하기 위해.
• 아디아바틱 진동이 표준 게이트 모델 양자 알고리즘에서는 불가능한 런타임 제어 기능을 제공하는지 보여주기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 시간에 따라 변하는 해밀토니안 H(t) = (1-s)H₀ + sHₘ을 사용하며, s(t)는 0에서 1로 증가한다.
• 초기 해밀토니안 H₀ = I - |ψ₀⟩⟨ψ₀|는 균일한 중첩을 준비하며, Hₘ = I - |m⟩⟨m|은 해 상태를 마킹한다.
• 런타임 T는 최소 에너지 갭 g_min과 최대 변화율 D_max를 포함한 아디아바틱 조건을 통해 추정된다.
• 이론적 분석은 초기 상태에서 해에 대한 진폭이 aₘ일 경우 T ≈ (1/aₘ) × (π/(2ε))가 되며, 이는 런타임에 영향을 주는 것은 해의 진폭뿐임을 증명한다.
• 해의 확률 p_M이 포함된 부분집합 A_M에 대해 런타임은 T ≈ √(n_M / p_M) × (π/(2ε))가 되며, 여기서 n_M은 부분집합의 크기이다.
• H₀와 Hₘ를 인자 c > 0로 스케일링하면 런타임은 T₂ = T₁ / c로 스케일링되며, c = √N일 경우 일정 시간 검색이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사전 지식이 있는 해의 확률을 사용하여 아디아바틱 양자 검색의 런타임을 줄일 수 있는가?
• RQ2 초기 초위상에서 해 상태의 진폭이 아디아바틱 진화 시간을 유일하게 결정하는가?
• RQ3 해밀토니안 스케일링을 통해 아디아바틱 양자 검색의 런타임을 임의로 줄일 수 있는가?
• RQ4 아디아바틱 알고리즘의 런타임 스케일링 특성은 표준 게이트 모델 양자 알고리즘인 그로버 알고리즘에는 존재하지 않는가?

주요 결과

• 사전 확률이 알려져 있을 경우 아디아바틱 검색 런타임은 T ≈ √(n_M / p_M) × (π/(2ε))가 되며, p_M가 클수록 표준 O(√N) 런타임보다 빠르다.
• 모든 가능한 해 위치에 대한 평균 런타임은 T_mean ≤ (π/(2ε)) × √N로 유계이며, 모든 부분집합이 비례하는 사전 확률를 가질 때에만 등호가 성립한다.
• 초기 및 최종 해밀토니안을 인자 c로 스케일링하면 런타임도 동일한 인자로 감소하므로 T₂ = T₁ / c가 된다.
• 해밀토니안을 √N 비례로 스케일링하면 런타임은 T ≈ π/(2ε)로 상수로 줄어들며, 데이터베이스 크기 N과 무관하다.
• 아디아바틱 알고리즘의 해밀토니안 스케일링을 통한 런타임 조절 능력은 표준 그로버 알고리즘에는 존재하지 않는 특성이다.
• 분석 결과 아디아바틱 진동은 복잡한 초기 상태에 대한 사전 확률 처리를 효율적으로 가능하게 하며, 반면 그로버 알고리즘에서는 이러한 분석이 어렵다.