[논문 리뷰] Quantum Simulation of Lindbladian Dynamics via Repeated Interactions

Matthew Pocrnic, Dvira Segal외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 08.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반복 상호작용(RI)을 사용하여 리드블라디안 동역학을 위한 양자 시뮬레이션 프레임워크를 제안하며, 리드블라드 마스터 방정식과 유니타리 RI 진화 간의 엄밀한 오차 한계를 확립한다. 반복적 큐비트화와 트로터-수즈키 방법을 통해 시뮬레이션 복잡도의 최적 스케일링을 유도하며, 상호작용 수가 $ O(t^2 \|\mathcal{L}\|_{1\to1}^2 / \epsilon) $ 비례함을 보여, 개방 양자 시스템의 효율적이고 증명 가능한 정확도를 갖는 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Lindblad equation generalizes the Schrödinger equation to quantum systems that undergo dissipative dynamics. The quantum simulation of Lindbladian dynamics is therefore non-unitary, preventing a naive application of state-of-the-art quantum algorithms. Here, we make use of an approximate correspondence between Lindbladian dynamics and evolution based on Repeated Interaction (RI) CPTP maps to write down a Hamiltonian formulation of the Lindblad dynamics and derive a rigorous error bound on the master equation. Specifically, we show that the number of interactions needed to simulate the Liouvillian $e^{t\mathcal{L}}$ within error $ε$ scales in a weak coupling limit as $ν\in O(t^2\|\mathcal{L}\|_{1 ightarrow 1}^2/ε)$. This is significant because the error in the Lindbladian approximation to the dynamics is not explicitly bounded in existing quantum algorithms for open system simulations. We then provide quantum algorithms to simulate RI maps using an iterative Qubitization approach and Trotter-Suzuki formulas and specifically show that for iterative Qubitization the number of operations needed to simulate the dynamics (for a fixed value of $ν$) scales in a weak coupling limit as $O(α_0 t + ν\log(1/ε)/\log\log(1/ε))$ where $α_0$ is the coefficient $1$-norm for the system and bath Hamiltonians. This scaling would appear to be optimal if the complexity of $ν$ is not considered, which underscores the importance of considering the error in the Liouvillian that we reveal in this work.

연구 동기 및 목표

• 표준 유니타리 양자 알고리즘에 직접 적용되지 않는 비유니타리이고 소산적인 리드블라디안 동역학을 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션하는 데 도전하는 것.
• 정확한 리드블라드 진동과 근사적인 반복 상호작용(RI) CPTP 매핑 간의 엄밀한 오차 한계를 확립하여 제어 가능한 근사화를 가능하게 하는 것.
• 반복적 큐비트화와 트로터-수즈키 분해를 사용하여 RI 매핑을 시뮬레이션하는 양자 알고리즘을 개발하고, 渐近적으로 최적의 게이트 복잡도를 달성하는 것.
• 리드블라드-RI 대응에서의 근사 오차와 시뮬레이션 오차 사이의 상호작용을 명확히 하여, 고차수 RI 매핑이 총 오차를 감소시키지 않을 수 있음을 강조하는 것.
• 개방 양자 시스템의 효율적이고 유니타리적 시뮬레이션을 가능하게 하며, 증명 가능한 오차 보장을 제공하는 프레임워크를 제공하여 소산 과정의 실용적 양자 시뮬레이션을 발전시키는 것.

제안 방법

• 시스템이 독립적인 환경 하위계를 순차적으로 상호작용하는 반복 상호작용(RI) CPTP 매핑과 리드블라디안 동역학 간의 근사적 대응을 활용한다.
• 보조 큐비트를 사용하여 RI 과정을 더 큰 유니타리 진동으로 통합함으로써 리드블라디안 동역학의 해밀토니안 형식을 유도하고, 표준 양자 시뮬레이션 기법을 적용할 수 있도록 한다.
• 진짜 리우빌리안 진동 $ e^{t\mathcal{L}} $ 과 RI로 생성된 진동 간의 엄밀한 오차 한계를 확립하며, 오차가 $ O(\nu^{-1}) $ 비례함을 보여, 여기서 $ \nu $ 는 상호작용 수이다.
• 반복적 큐비트화와 트로터-수즈키 분해를 적용하여 RI 매핑을 시뮬레이션하며, 복잡도가 $ O(\nu(t\alpha_0 + \log(1/\epsilon)/\log\log(1/\epsilon))) $ 비례함을 보인다.
• 교환자 구조와 분할 전략을 활용하여 시뮬레이션 효율을 향상시킬 수 있으나, 유리한 분할 전략의 존재 여부는 여전히 열린 질문이다.
• 보조 큐비트 오버헤드를 최소화하고 효율적인 구현을 가능하게 하기 위해 추적 제거 연산을 시뮬레이션 전반에 걸쳐 연기한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유니타리인 리드블라디안 동역학을 어떻게 양자 컴퓨터에서 유니타리 진동 기법을 사용하여 효율적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 정확한 리드블라디안 진동과 반복 상호작용(RI) 근사 간의 정량적 오차는 무엇이며, 어떻게 한정할 수 있는가?
• RQ3 반복적 큐비트화와 트로터-수즈키 방법을 사용하여 RI 매핑을 최적 또는 근사 최적의 게이트 복잡도로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ4 RI 매핑의 차수를 높일수록 총 시뮬레이션 오차가 항상 감소하는가, 아니면 근사 오차와 시뮬레이션 오차 사이에 상충 관계가 존재하는가?
• RQ5 리드블라드-RI 대응 오차와 양자 알고리즘 구현 오차는 어떻게 상호작용하며, 알고리즘 설계에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 오차 $ \epsilon $ 이내로 리우빌리안 $ e^{t\mathcal{L}} $ 를 시뮬레이션하기 위해 필요한 반복 상호작용 수 $ \nu $ 는 $ O(t^2 \|\mathcal{L}\|_{1\to1}^2 / \epsilon) $ 비례함을 보이며, 이는 근사 오차에 대한 엄밀한 한계를 제공한다.
• 반복적 큐비트화의 경우 총 연산 수는 $ O(\nu(t\alpha_0 + \log(1/\epsilon)/\log\log(1/\epsilon))) $ 비례하며, $ \nu $ 를 상수로 간주할 경우 渐近적으로 최적이다.
• RI 근사의 오차는 상호작용 시간에 대해 이차이며, 이는 고차수 통합기법이 물리적 정확도를 두 번째 차수를 초과해 향상시키지 못할 수 있음을 시사한다.
• 이 프레임워크는 보류된 추적 제거를 통해 유니타리 진동을 통한 개방 양자 시스템의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 하며, 보조 큐비트 요구량을 최소화한다.
• 현재 개방 시스템 시뮬레이션에서 중요한 문제점을 드러내며, 리드블라드 마스터 방정식 자체도 근사임을 확인하고, 알고리즘 오차와 함께 이 오차를 한정해야만 시뮬레이션 방법 간 공정한 비교가 가능하다.
• 오차 감소의 수익 감소 현상으로 인해, RI 매핑의 첫 두 차수만을 시뮬레이션하는 것이 고차수 구현보다 더 효율적일 수 있음을 시사한다.