[논문 리뷰] Quantum simulation of partial differential equations via Schrodingerisation

Shi Jin, Nana Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 28.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 선형 편미분방정식(PDE)을 실시간으로 양자 시뮬레이션할 수 있도록 하는 새로운 방법인 슈뢰딩어화(Schrödingerisation)를 소개한다. 이 방법은 왜곡된 위상 변환을 통해 PDE를 실시간으로 동작하는 슈뢰딩어 방정식의 집합으로 변환한다. 이 접근법은 고전적 및 양자 역학적 동역학(예: 기저 상태, 지브스 상태, 무작위 매질 내 시스템 등)을 효율적으로 시뮬레이션할 수 있으며, 자원의 증명 가능한 경계를 제공하고, 허수 시간이나 복잡한 블록 인코딩을 필요로 하지 않는다.

ABSTRACT

We present a simple new way - called Schrodingerisation - to simulate general linear partial differential equations via quantum simulation. Using a simple new transform, referred to as the warped phase transformation, any linear partial differential equation can be recast into a system of Schrodinger's equations - in real time - in a straightforward way. This can be seen directly on the level of the dynamical equations without more sophisticated methods. This approach is not only applicable to PDEs for classical problems but also those for quantum problems - like the preparation of quantum ground states, Gibbs states and the simulation of quantum states in random media in the semiclassical limit.

연구 동기 및 목표

• 양자 장치가 유니타리 슈뢰딩어 역학에 자연스럽게 적합하므로, 열 방정식 및 복사 에너지 수송 방정식과 같은 고전적 선형 PDE를 시뮬레이션하는 데 도전하는 것.
• 허수 시간 진동이나 큐비트화와 같은 기존 방법의 한계를 극복하기 위해, 비트리스팅된 상태 준비, 토모그라피 또는 복잡한 다항식 근사가 필요로 하지 않는 것.
• 임의의 선형 PDE를 실시간으로 유니타리 슈뢰딩어 역학으로 매핑하는 일반적이고 개념적으로 단순하며 자원 효율적인 프레임워크를 개발하는 것.
• 기저 상태 및 지브스 상태 준비와 같은 양자 문제의 양자 시뮬레이션을 가능하게 하고, 무작위 매질 내의 반도체 역학도 포함하는 것.
• 시간 이산화를 피하고 단위기로 진화를 유지함으로써, 연속적인 해 진화를 보존하는 통합된 접근법을 제공하는 것.

제안 방법

• 모든 선형 PDE를 실시간으로 동작하는 슈뢰딩어 방정식의 집합으로 재구성하기 위해, 핵심 기법으로 왜곡된 위상 변환을 제안한다.
• 열 방정식에 이 변환을 적용하여, 보조 변수에 대한 푸리에 변환을 거친 후, 상호작용이 없는 슈뢰딩어 방정식의 집합으로 변환됨을 보여준다.
• 미분 연산자를 에르미트 및 반에르미트 부분으로 분해함으로써, 임의의 선형 PDE에 대해 일반화한다. 이는 확장된 힐베르트 공간 내에서 유니타리 진동으로 표현될 수 있도록 한다.
• 보조 변수 $p$ 에 대한 푸리에 변환을 통해, 변환된 PDE를 주파수 $\eta$ 로 매개변수화된 슈뢰딩어 방정식의 집합으로 변환한다. 여기서 해밀토니안은 에르미트 연산 $\eta\mathbf{H} + \mathbf{\bar{H}}$ 를 갖는다.
• 주파수 변수 $\eta$ 를 이산화하여, 유한 차원 해밀토니안 $\mathbf{H}_{\text{total}} = \mathbf{H} \otimes \mathbf{D} + \mathbf{\bar{H}} \otimes \mathbf{1}$ 을 구성함으로써, 표준 유니타리 진동을 통한 양자 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 에르미트 부분 $\mathbf{H}$ 가 양의 준정부호임을 가정하고, 해밀토니안과 초기 상태 준비에 대한 희소 액세스를 활용함으로써 안정성과 효율성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수 시간이나 이산화를 사용하지 않고, 실시간으로 고전적 선형 PDE를 유니타리 슈뢰딩어 역학으로 체계적으로 매핑하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 모든 선형 PDE를 양자 시뮬레이션 프레임워크에 통합함으로써 시간 진화의 연속성을 유지하기 위해 필요한 최소한의 변환은 무엇인가?
• RQ3 슈뢰딩어화 접근법은 기저 상태, 지브스 상태, 무작위 매질 내 수송을 기술하는 PDE를 포함해 고전적 및 양자적 PDE에 일반화될 수 있는가?
• RQ4 슈뢰딩어화 프레임워크에서 문제 크기와 시간 진화에 따라 양자 자원 비용(예: 질의 복잡도 및 게이트 수)은 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 간편성, 자원 효율성, 상태 준비 측면에서 기존 방법(큐비트화 또는 허수 시간 진동)에 비해 이 방법의 장점은 무엇인가?

주요 결과

• 왜곡된 위상 변환은 비유니타리 동역학이나 복잡한 다항식 근사가 필요 없이, 어떤 선형 PDE도 직접적으로 실시간으로 슈뢰딩어 방정식의 집합으로 매핑할 수 있게 한다.
• 열 방정식의 경우, 푸리에 변환을 통해 상호작용이 없는 슈뢰딩어 방정식의 집합으로 변환되며, 이는 허수 시간 진동의 개념적 대안을 제공한다.
• 미분 연산자를 에르미트 및 반에르미트 성분으로 분해함으로써, 임의의 선형 PDE에 대해 일반화된 접근법이 가능해지며, 결과적으로 양자 컴퓨터에서 시뮬레이션 가능한 유니타리 동역학이 보장된다.
• 변환된 시스템의 양자 시뮬레이션은 $\tilde{\mathcal{O}}\left(\left(\|\mathbf{u}(0)\|/\|\mathbf{u}(t)\|\right) s t \|\mathbf{H}_{\text{total}}\|_{\text{max}}\right)$ 의 질의 복잡도를 달성한다. 여기서 $s$ 는 해밀토니안 성분의 희소성이다.
• 추가적인 두 큐비트 게이트 수는 $\tilde{\mathcal{O}}\left(\|\mathbf{u}(0)\|/\|\mathbf{u}(t)\| d t s \|\mathbf{H}_{\text{total}}\|_{\text{max}}\right)$ 로 스케일링되며, 이는 희소 시스템에 대해 효율적인 자원 스케일링을 보여준다.
• 이 방법은 기저 상태 및 지브스 상태와 같은 양자 상태의 직접적 시뮬레이션을 가능하게 하며, 상태 확장 기법을 통해 비균일 PDE 및 경계값 문제로도 확장 가능하다.