[논문 리뷰] Quantum Simulation of Phylogenetic Trees

Demosthenes Ellinas, Peter Jarvis|arXiv (Cornell University)|2011. 05. 09.

Genomics and Phylogenetic Studies인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자 워크와 양성 추적 보존 사상(positive trace-preserving maps)을 사용하여 계통수 나무의 진화 과정과 통계적 추론을 모델링하는 양자 시뮬레이션 프레임워크를 제안한다. 계통수 나무의 우도 계산과 양자 측정의 우도 연산자 관측량 사이의 대응 관계를 수립함으로써, 상태-관측량 이중성과 비가역적 양자 회로를 통해 양자 강화 최대우도 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum simulations constructing probability tensors of biological multi-taxa in phylogenetic trees are proposed, in terms of positive trace preserving maps, describing evolving systems of quantum walks with multiple walkers. Basic phylogenetic models applying on trees of various topologies are simulated following appropriate decoherent quantum circuits. Quantum simulations of statistical inference for aligned sequences of biological characters are provided in terms of a quantum pruning map operating on likelihood operator observables, utilizing state-observable duality and measurement theory.

연구 동기 및 목표

• 계통수학에서 다중 분류군 진화 과정을 시뮬레이션하기 위한 양자 정보 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 군 기반 및 펠렌슈타인 유형의 모델을 포함한 고전적 계통수 모델을 유니터리 연산자와 분해를 통해 양자 회로에 매핑하는 것.
• 양자 자르기 맵(quantum pruning maps)과 우도 연산자 관측량을 사용하여 정렬된 생물학적 서열에 대한 통계적 추론을 시뮬레이션하는 것.
• 최대우도 계통수 나무 추정에서 사용되는 반복적 자르기 알고리즘의 양자 역학적 유사체를 수립하는 것.
• 추적 순환 성질과 유니터리 확장( unitary dilations)을 활용하여 양자 상태와 관측량 간의 이중성에 기반해 나무 우도의 양자 계산을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• s-분류군 밀도 행렬에 작용하는 국소 유니터리 연산자 $U = \bigotimes_{i=1}^{s} U_i$ 와 그 다음에 오는 분해 맵 ${\rm \bf E}_d^{\bigotimes s}$ 를 통해 대각 밀도 행렬로 사영하는 방식으로 계통수 진화를 모델링한다.
• 제어-노트 게이트 $U_{cn}$ 을 텐서 곱 구조에 적용하여 나무 구조를 구성하며, 수반 작용 $\Delta\rho = U_{cn}(\rho \otimes \widehat{P}_0)U_{cn}^\dagger$ 를 통해 분열(cladogenesis)을 가능하게 한다.
• 사이트별 우도를 양자 연산자 $\widehat{L}_{tr}^{(l)}$ 로 표현하며, 이는 종단 친구(terminal cherries)의 우도 연산자에 대해 양자 자르기 맵 $\mu$ 를 재귀적으로 적용하여 도출된다.
• 이중 맵 형식을 활용: $L^{(l)} = \nu_f^{-1} \operatorname{Tr}(\widehat{L}^{C_f} {\mathcal{E}}_{B_f}^*(\rho^\pi))$, 여기서 $\mathcal{E}^*$ 는 정적 상태 $\rho^\pi$ 에 작용하는 확률적 사상의 이중이다.
• 전체 정렬에 대한 우도 계산을 텐서 곱 $\otimes_{l=1}^\Lambda \widehat{L}_{tr}^{(l)}$ 과 집합적 사상 $\otimes_{l=1}^\Lambda {\mathcal{E}}_{B_{f;l}}^*$ 를 통해 확장하며, 이는 유니터리 확장에 의해 실현 가능하다.
• 상태-관측량 이중성과 추적 순환 성질을 활용하여 관측량의 하이젠베르크 유사 진화를 양자 상태의 셰로딩어 유사 진화로 변환함으로써 계산적 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 워크와 유니터리 진화는 고전적 계통수 모델의 기초가 되는 확률적 과정을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 최대우도 계통수 추정에서 사용되는 반복적 자르기 과정을 양자 측정 연산으로 매핑할 수 있는가?
• RQ3 계통수 나무에서의 우도 연산자에 해당하는 양자역학적 유사체는 무엇이며, 어떻게 측정할 수 있는가?
• RQ4 양자 상태와 관측량 간의 이중성을 활용하여 양자 회로를 통해 정렬 우도를 계산할 수 있는가?
• RQ5 분해와 추적 보존 사상은 군 기반 및 펠렌슈타인 유형의 계통수 모델에서 전이 확률을 모델링하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 군 기반 계통수 모델은 유니터리 진화와 분해를 통해 양자 워크로 매핑되며, 마르코프 행렬은 유니터리 행렬의 하다르드 곱으로 유도된다.
• 펠렌슈타인 모델은 측정 후 상태 맵으로 실현되며, 자르기 맵 $\mu$ 는 우도 연산자에 작용하는 확률적 사상 $\mathcal{E}_B$ 로 표현된다.
• 단일 사이트의 우도는 $L^{(l)} = \left\langle \widehat{L}_{tr}^{(l)}, \rho^\pi \right\rangle = \operatorname{Tr}(\widehat{L}_{tr}^{(l)} \rho^\pi)$ 로 계산되며, 여기서 $\rho^\pi$ 는 정적 상태이다.
• 전체 정렬에 대해서는 총 로그 우도가 $\log \operatorname{Tr}\left( \bigotimes_{l=1}^\Lambda \widehat{L}_{tr}^{(l)} \right) \rho_\Lambda$ 로 표현되며, $\rho_\Lambda = (\rho^\pi)^{\otimes \Lambda}$ 이다.
• 최종 우도 계산은 관측량에 대한 이중 맵 $\mathcal{E}_{B_f}^*$ 를 통해 셰로딩어 유사 진화와 동치가 된다. 이 맵은 정적 밀도 행렬 $\rho^\pi$ 에 작용한다.
• 집합적 맵 $\otimes_{l=1}^\Lambda {\mathcal{E}}_{B_{f;l}}^*$ 는 유니터리 확장에 의해 실현 가능하므로, 이는 우도 계산의 해밀토니안 기반 양자 구현 가능성을 시사한다.